Probabilités (2 Bac) : résumé de cours et exercices corrigés

Les probabilités sont souvent le dernier chapitre traité en classe, et donc le moins révisé — alors qu'il tombe régulièrement au Bac et qu'il est très accessible. C'est typiquement un chapitre où l'on peut gagner des points rapidement. Voici le résumé du cours, suivi d'exercices corrigés.

Le vocabulaire de base

L'univers, noté Ω, est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Un événement est une partie de cet univers. Dans le cas d'une situation d'équiprobabilité (dé équilibré, tirage au hasard), la probabilité d'un événement A se calcule très simplement : c'est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles, c'est-à-dire card(A) / card(Ω).

Le dénombrement : compter avant de calculer

Avant de calculer une probabilité, il faut savoir compter. Deux outils suffisent au Bac. Les combinaisons, notées C(n, k), comptent le nombre de façons de choisir k objets parmi n sans tenir compte de l'ordre — c'est le cas d'un tirage simultané. Les arrangements tiennent compte de l'ordre, par exemple pour un tirage successif sans remise. La question à se poser systématiquement est : l'ordre compte-t-il, et y a-t-il remise ?

Réunion, intersection et complémentaire

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) : on retire l'intersection comptée deux fois.
• Si A et B sont incompatibles (A ∩ B vide), alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• P(Ā) = 1 − P(A) : la probabilité du contraire.
• Réflexe : quand un énoncé dit « au moins un », passez par l'événement contraire « aucun ».

Probabilité conditionnelle et indépendance

La probabilité de B sachant A, notée P(B|A), vaut P(A ∩ B) / P(A), à condition que P(A) soit non nulle. On en déduit la formule des probabilités composées : P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A). Deux événements sont dits indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B) — autrement dit, savoir que A s'est produit ne change rien à la probabilité de B. Attention à ne pas confondre indépendants et incompatibles : ce sont deux notions différentes, et même opposées en pratique.

La formule des probabilités totales

Si l'univers est partitionné en événements A₁, A₂, …, Aₙ (deux à deux incompatibles et couvrant tout Ω), alors la probabilité de B vaut la somme des P(Aᵢ) × P(B|Aᵢ). En pratique, on construit un arbre pondéré : chaque chemin donne un produit, et on additionne les chemins qui mènent à B. L'arbre est presque toujours la façon la plus sûre de traiter ces exercices.

Variable aléatoire et loi binomiale

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue. Sa loi de probabilité donne les valeurs possibles et leurs probabilités, et son espérance E(X) — la somme des xᵢ × P(X = xᵢ) — représente la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.

Le cas le plus important est la loi binomiale. Elle modélise n répétitions identiques et indépendantes d'une même épreuve n'ayant que deux issues (succès de probabilité p, échec de probabilité 1 − p). Alors P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n−k), et l'espérance vaut simplement E(X) = n × p. Les trois conditions — répétitions identiques, indépendantes, à deux issues — doivent être vérifiées et citées dans la copie.

Exercice corrigé 1 : une urne

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément 2 boules. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 rouges ? Le tirage est simultané, donc l'ordre ne compte pas : on utilise les combinaisons. Le nombre de cas possibles est C(8, 2) = 28. Le nombre de cas favorables est C(5, 2) = 10. La probabilité vaut donc 10/28, soit 5/14, environ 0,357.

Exercice corrigé 2 : une loi binomiale

On lance 4 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de « pile » obtenus. Les 4 lancers sont identiques, indépendants, à deux issues : X suit une loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,5. La probabilité d'obtenir exactement 2 piles est P(X = 2) = C(4, 2) × 0,5² × 0,5² = 6 × 0,0625 = 0,375. Et l'espérance vaut E(X) = 4 × 0,5 = 2 : on attend 2 piles en moyenne, ce qui est cohérent.

Les erreurs fréquentes

• Confondre événements indépendants et événements incompatibles.
• Utiliser les combinaisons alors que l'ordre compte (ou l'inverse).
• Oublier de vérifier — et d'écrire — les trois conditions de la loi binomiale.
• Additionner des probabilités d'événements qui ne sont pas incompatibles.
• Ne pas penser à l'événement contraire face à un énoncé « au moins un ».

Les probabilités demandent surtout de la rigueur dans la lecture de l'énoncé : une fois la situation bien modélisée, les calculs sont simples. Pour vous entraîner avec des exercices corrigés progressifs, réservez un cours à Fès ou en ligne.