Aller au contenu principal
MathExcellence
← Toutes les fiches

La dérivation est l'outil central de l'analyse en 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales : le nombre dérivé f′(x₀) mesure la pente de la tangente et le sens de variation local d'une fonction. Cette fiche réunit la définition par le taux d'accroissement, l'équation de la tangente, l'approximation affine, la dérivabilité à gauche et à droite (point anguleux, tangente verticale), le tableau des dérivées usuelles, les opérations et la dérivée d'une composée, puis le lien entre le signe de f′ et les variations. Elle inclut aussi l'équation différentielle y″ + ω²y = 0, dont les solutions y = A cos(ωx) + B sin(ωx) décrivent un oscillateur. Le réflexe qui structure toute étude : dériver, étudier le signe de f′, puis dresser le tableau de variations.

f′
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Expérimentales

Dérivation — Tangente, dérivées, variations

Math Excellence
1 · Nombre dérivé & dérivées usuelles
Nombre dérivé
\(f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\)
pente de la tangente
Tangente
\(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)
en \(x_0\)
Dérivabilité
\(f'_g(x_0)=f'_d(x_0)\)
sinon : point anguleux
Dérivable ⇒ continue
réciproque fausse
\(|x|\) continue, non dérivable en \(0\)
Approximation affine
\(f(x)\approx f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)
près de \(x_0\)
Tangente verticale
taux \(\to\pm\infty\)
non dérivable, \(x=x_0\)
\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline f(x) & f'(x) & \text{sur}\\ \hline x^n & n\,x^{n-1} & \mathbb{R}\\ \hline \tfrac1x & -\tfrac1{x^2} & \mathbb{R}^*\\ \hline \sqrt x & \tfrac1{2\sqrt x} & ]0,+\infty[\\ \hline \cos x & -\sin x & \mathbb{R}\\ \hline \sin x & \cos x & \mathbb{R}\\ \hline \tan x & 1+\tan^2x & \cos x\neq0\\ \hline\end{array}\]
2 · Opérations & composée
Somme & produit
  • \((u+v)'=u'+v'\), \((ku)'=ku'\)
  • \((uv)'=u'v+uv'\)
Inverse & quotient
  • \(\Big(\dfrac1v\Big)'=-\dfrac{v'}{v^2}\)
  • \(\Big(\dfrac uv\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
Piège : l'ordre \(u'v-uv'\) au numérateur, pas l'inverse.
Composée
  • \((v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)\)
Composées usuelles
  • \((u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}\), \((\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}\)
  • \((\cos u)'=-u'\sin u\), \((\sin u)'=u'\cos u\)
3 · Formules & réflexes
\((x^n)'=n\,x^{n-1}\)
\(\big(\tfrac1x\big)'=-\tfrac1{x^2}\)
\((\sqrt x)'=\tfrac1{2\sqrt x}\)
\((\cos x)'=-\sin x\), \((\sin x)'=\cos x\)
\((uv)'=u'v+uv'\)
\(\big(\tfrac uv\big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
\((u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}\)
extremum \(\Rightarrow f'(x_0)=0\)
4 · Variations & équation \(y''+\omega^2y=0\)
Signe de \(f'\) → variations
  • \(f'\ge0\) : croissante ; \(f'\le0\) : décroissante
  • \(f'=0\) sur \(I\) : constante
Méthode reine : étudier le signe de \(f'\), dresser le tableau.
Extremum
  • \(f'\) change de signe en \(x_0\) : extremum local
  • \(+\to-\) : maximum ; \(-\to+\) : minimum
Équation de tangente
  • calculer \(f(x_0)\) et \(f'(x_0)\)
  • écrire \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)
Point anguleux / verticale
  • \(f'_g\neq f'_d\) : point anguleux
  • taux \(\to\pm\infty\) : tangente verticale
\(\sqrt x\) en \(0\) : demi-tangente verticale
Équation \(y''+\omega^2y=0\)
  • solutions \(y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\)
  • \(A,B\) fixés par les conditions initiales
oscillateur : \(\omega\) pulsation
★ Astuces géniales
  • Le nombre dérivé = pente de la tangente = limite du taux de variation.
  • Dérivable ⇒ continue ; la contraposée (non continue ⇒ non dérivable) conclut sans calcul.
  • Étudier une fonction = étudier le signe de \(f'\), puis dresser le tableau de variations.
  • L'équation \(y''+\omega^2y=0\) (oscillateur) a pour solutions \(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\).
Math Excellence · Travail — Méthode — Réussite · anassmaths.com