Géométrie dans l'espace

Si \(\vec u(x,y,z)\), \(\vec v(x',y',z')\) et \(\lambda\in\mathbb{R}\) : \[\begin{aligned}\vec u=\vec v&\iff x=x',\ y=y',\ z=z',\\ \vec u+\vec v&=(x+x',\ y+y',\ z+z'),\\ \lambda\vec u&=(\lambda x,\ \lambda y,\ \lambda z).\end{aligned}\] Tout se fait coordonnée par coordonnée.

Pour \(A(x_A,y_A,z_A)\) et \(B(x_B,y_B,z_B)\) : \[\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)\] et le milieu \(I\) de \([AB]\) : \[I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2},\ \frac{z_A+z_B}{2}\right).\]

\(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x',y',z')\) sont colinéaires si et seulement si leurs trois déterminants extraits sont nuls : \[xy'-x'y=0,\qquad xz'-x'z=0,\qquad yz'-y'z=0.\] Cela équivaut à \(\vec v=\lambda\vec u\) lorsque \(\vec u\neq\vec 0\).

• échanger deux vecteurs change le signe du déterminant ;
• multiplier un vecteur par \(\lambda\) multiplie le déterminant par \(\lambda\) ;
• ajouter à un vecteur un multiple d'un autre ne change pas le déterminant ;
• si deux vecteurs sont colinéaires, le déterminant est nul.

\[\vec u,\vec v,\vec w\text{ coplanaires}\iff \det(\vec u,\vec v,\vec w)=0.\] Si le déterminant est non nul, les trois vecteurs forment une base de l'espace.

De même, \(A,B,C,D\) sont coplanaires \(\iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=0\).

La droite \(D\) passant par \(A(x_A,y_A,z_A)\) de vecteur directeur non nul \(\vec u(a,b,c)\) est l'ensemble des \(M(x,y,z)\) tels que \[D:\begin{cases}x=x_A+ta,\\ y=y_A+tb,\\ z=z_A+tc,\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\] Le réel \(t\) est le paramètre ; une même droite a une infinité de représentations.

Si \(A\neq B\), la droite \((AB)\) passe par \(A\) et admet \(\overrightarrow{AB}\) comme vecteur directeur : on remplace \((a,b,c)\) par \((x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)\).

Si \(abc\neq 0\), on élimine \(t\) : \[\frac{x-x_A}{a}=\frac{y-y_A}{b}=\frac{z-z_A}{c}.\] Si une composante est nulle, on la traite séparément (par exemple \(c=0\) donne \(z=z_A\)).

Une droite peut aussi être vue comme l'intersection de deux plans sécants : \[D:\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0,\\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0.\end{cases}\]

Soient \(A(x_A,y_A,z_A)\) et deux vecteurs non colinéaires \(\vec u(a,b,c)\), \(\vec v(a',b',c')\). Le plan \(P(A,\vec u,\vec v)\) admet \[P:\begin{cases}x=x_A+sa+ta',\\ y=y_A+sb+tb',\\ z=z_A+sc+tc',\end{cases}\qquad (s,t)\in\mathbb{R}^2.\] Deux paramètres indépendants sont nécessaires pour parcourir un plan.

Si \(A,B,C\) ne sont pas alignés, le plan \((ABC)\) passe par \(A\) et admet \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) comme vecteurs directeurs.

Tout plan admet une équation \[ax+by+cz+d=0,\qquad (a,b,c)\neq(0,0,0),\] et réciproquement toute telle équation représente un plan. Multiplier tous les coefficients par un réel non nul ne change pas le plan.

De plus, \(M(x,y,z)\in P(A,\vec u,\vec v)\iff \det(\overrightarrow{AM},\vec u,\vec v)=0\) ; développer ce déterminant donne l'équation \(ax+by+cz+d=0\).

Dans \(P:ax+by+cz+d=0\), un vecteur \(\vec u(\alpha,\beta,\gamma)\) est un vecteur directeur si \[a\alpha+b\beta+c\gamma=0.\] On peut fixer librement certaines composantes pour construire deux solutions non colinéaires, qui forment deux directions du plan.

Soient \(D(A,\vec u)\) et \(D'(B,\vec v)\).

• \(\vec u,\vec v\) colinéaires : droites parallèles — confondues si \(B\in D\), strictement parallèles sinon ;
• \(\vec u,\vec v\) non colinéaires : sécantes si elles ont un point commun, non coplanaires sinon.

Dans ce dernier cas, \(\det(\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v)=0\iff D\) et \(D'\) sont coplanaires, donc sécantes.

Pour \(D:x=x_A+t\alpha,\ y=y_A+t\beta,\ z=z_A+t\gamma\) et \(P:ax+by+cz+d=0\), la substitution donne \[(a\alpha+b\beta+c\gamma)\,t+(ax_A+by_A+cz_A+d)=0.\]

• \(a\alpha+b\beta+c\gamma\neq 0\) : solution unique, \(D\) sécante à \(P\) ;
• \(=0\) et \(A\in P\) : \(D\subset P\) ;
• \(=0\) et \(A\notin P\) : \(D\) strictement parallèle à \(P\).

Pour \(P:ax+by+cz+d=0\) et \(Q:a'x+b'y+c'z+d'=0\) :

• \((a',b',c')\) non proportionnel à \((a,b,c)\) : plans sécants suivant une droite ;
• \((a',b',c')=\lambda(a,b,c)\) : plans parallèles — confondus si \(d'=\lambda d\), strictement parallèles sinon.