2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 6

Calcul intégral

1 · Résumé du cours

Ce chapitre fait le chemin inverse de la dérivation (retrouver \(F\) telle que \(F'=f\) : la primitive), puis en tire un nombre — l'intégrale — qui mesure une aire. En Sciences Maths, l'intégrale se lit aussi comme une limite de sommes (Riemann) et, à borne variable, fabrique elle-même une primitive (théorème fondamental).

1.1 Notion de primitive

Définition \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) si \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(\boxed{\forall x\in I,\ F'(x)=f(x)}\).

La vérification qui ne trompe jamais Un doute sur une primitive ? Dérivez-la. Si vous retrouvez \(f\), c'est juste — la seule vérification nécessaire. Comme \(F'=f\), le signe de \(f\) donne les variations de \(F\) ; les zéros de \(f\) sont les extremums de \(F\).

1.2 Existence & ensemble des primitives

Théorèmes Toute fonction continue sur \(I\) y admet des primitives. Si \(F\) en est une, elles sont exactement les \(\boxed{x\mapsto F(x)+k,\ k\in\mathbb{R}}\) (leurs courbes se déduisent par translation verticale). Une condition \(F(x_0)=y_0\) en sélectionne une seule.

Pourquoi « \(+k\) » et l'hypothèse intervalle Si \(F,G\) sont deux primitives, \((G-F)'=0\) sur l'intervalle \(I\) ⇒ \(G-F=k\). Sur \(\mathbb{R}^{*}\) (pas un intervalle), la constante pourrait différer sur chaque morceau.

1.3 Primitives usuelles

À connaître (le tableau des dérivées, lu à l'envers) \[\begin{array}{c|c} f(x) & \text{une primitive } F(x)\\\hline a & a\,x\\ x^{n}\ (n\in\mathbb{N}) & \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\\ x^{\alpha}\ (\alpha\neq-1) & \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\ \dfrac1{x^{2}} & -\dfrac1x\\ \dfrac1{\sqrt x} & 2\sqrt x\\ \dfrac1x & \ln|x|\\ e^{x} & e^{x}\\ \cos x\,;\ \sin x & \sin x\,;\ -\cos x\\ \dfrac1{1+x^{2}} & \arctan x \end{array}\] La dernière ligne vient d'Arctangente : \(\arctan'(x)=\frac1{1+x^{2}}\).

1.4 Linéarité & formes composées

Linéarité \(\alpha F+\beta G\) est une primitive de \(\alpha f+\beta g\).

Ce qui n'existe PAS Aucune formule pour la primitive d'un produit ou d'un quotient. Il faut reconnaître une forme (pour les produits qui résistent : l'IPP, §1.9).

Formes composées (chaque dérivée composée, lue à l'envers) \[\begin{array}{c|c} \text{forme de } f & \text{une primitive } F\\\hline u'\,u^{n} & \dfrac{u^{n+1}}{n+1}\\ \dfrac{u'}{u^{2}}\ (u\neq0) & -\dfrac1u\\ \dfrac{u'}{\sqrt u}\ (u>0) & 2\sqrt u\\ \dfrac{u'}{u}\ (u\neq0) & \ln|u|\\ u'\,e^{u} & e^{u}\\ u'\cos u\,;\ u'\sin u & \sin u\,;\ -\cos u\\ \dfrac{u'}{1+u^{2}} & \arctan u \end{array}\]

Ajuster le coefficient Repérer \(u\) (l'« intérieur »), calculer \(u'\), et s'il manque une constante, la compenser par son inverse. Ex. \(e^{2x}=\frac12\,(2e^{2x})\) donc primitive \(\frac12 e^{2x}\) (vérif. : dérivée \(=e^{2x}\) ✓).

1.5 L'intégrale : définition & aire

Définition Pour \(f\) continue sur \(I\), \(a,b\in I\) et \(F\) une primitive : \[\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)}\] Le choix de \(F\) n'importe pas (la constante s'élimine) : jamais de « \(+k\) » dans une intégrale. La variable est muette : \(\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt\).

Interprétation en aire Si \(f\) est continue et positive sur \([a,b]\) (\(a\le b\)), alors \(\int_a^b f\) est l'aire (en u.a.) sous \(\mathcal{C}_f\), entre l'axe des abscisses et \(x=a\), \(x=b\).

Intégrale \(\neq\) aire en général Si \(f\) est négative, l'intégrale est négative ; si \(f\) change de signe, les contributions se compensent. Ainsi \(\int_{-1}^{1}x\,dx=0\) alors que l'aire vaut \(1\). Pour une aire : découper selon le signe, ou intégrer \(|f|\).

1.6 L'intégrale comme limite : sommes de Riemann

Théorème — le point de vue Sciences Maths Pour \(f\) continue sur \([a,b]\), en découpant en \(n\) parts égales (\(x_k=a+k\frac{b-a}{n}\)) : \[\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(a+k\,\frac{b-a}{n}\right)}\] En particulier sur \([0,1]\) : \(\displaystyle\int_0^1 f=\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac kn\right)\).

Chaque rectangle a pour largeur \(\frac{b-a}{n}\) et pour hauteur \(f(x_k)\). Quand \(n\to+\infty\), la somme de leurs aires tend vers l'aire exacte, donc vers l'intégrale.

Réflexe rentable Devant \(\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n} f(\frac kn)\), ne sommez pas : reconnaissez \(\int_0^1 f\) et calculez l'intégrale. Ex. \(\lim\frac1n\sum\frac kn=\int_0^1 x\,dx=\frac12\).

1.7 Propriétés de l'intégrale

Les incontournables

Linéarité : \(\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g\).
Chasles : \(\boxed{\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f}\).
Bornes : \(\int_a^a f=0\), \(\int_a^b f=-\int_b^a f\).
Parité sur \([-a,a]\) : \(f\) impaire ⇒ \(\int_{-a}^{a}f=0\) ; \(f\) paire ⇒ \(\int_{-a}^{a}f=2\int_0^a f\).

À quoi sert Chasles C'est l'outil des fonctions définies par morceaux et des aires quand \(f\) change de signe : on découpe aux points d'annulation.

1.8 Intégrale & ordre — valeur moyenne

Positivité, comparaison, encadrement (si \(a\le b\)) \(f\ge0\Rightarrow\int_a^b f\ge0\) ; \(f\le g\Rightarrow\int_a^b f\le\int_a^b g\) ; et \(m\le f\le M\Rightarrow m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)\).

L'ordre des bornes est indispensable Ces propriétés supposent \(a\le b\). Si \(b<a\), l'intégrale change de signe et les inégalités s'inversent.

Valeur moyenne & théorème de la moyenne \(\mu=\dfrac1{b-a}\int_a^b f\). Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) (\(a<b\)), il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(\boxed{\int_a^b f=(b-a)f(c)}\), c.-à-d. \(f(c)=\mu\) : la valeur moyenne est atteinte (preuve : encadrement \(m\le\mu\le M\) puis T.V.I.).

1.9 Méthodes de calcul

① Méthode directe Reconnaître une forme (\(u'u^n\), \(\frac{u'}{u}\), \(u'e^u\), \(\frac{u'}{\sqrt u}\), \(\frac{u'}{1+u^2}\)…), en déduire \(F\) (ajuster le coefficient), puis \(F(b)-F(a)\).

② Intégration par parties (IPP) \[\boxed{\int_a^b u'v\,dx=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'\,dx}\] Choix : \(v\) = ce qui se simplifie en dérivant (\(x\), \(x^2\), \(\ln x\), \(\arctan x\)) ; \(u'\) = ce qu'on sait primitiver (\(e^x\), \(\cos x\), \(\sin x\)). Ex. \(\int_1^e\ln x\,dx\) : \(v=\ln x,\ u'=1\Rightarrow[x\ln x]_1^e-\int_1^e 1\,dx=e-(e-1)=1\).

③ Changement de variable En posant \(u=\varphi(t)\), \(du=\varphi'(t)\,dt\) : \(\boxed{\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du}\). Ne pas oublier de changer les bornes. Ex. \(\int_0^1 2t\,e^{t^2}dt\ \overset{u=t^2}{=}\int_0^1 e^u\,du=e-1\).

1.10 Fonction intégrale & théorème fondamental

Théorème fondamental de l'analyse Pour \(f\) continue sur \(I\) et \(a\in I\), la fonction \(\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) est dérivable et \(\boxed{\Phi'(x)=f(x)}\) : \(\Phi\) est la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\).

Ce que ce théorème règle Il prouve l'existence d'une primitive pour toute fonction continue, et justifie \(\int_a^b f=F(b)-F(a)\). Réflexe : \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\) — dériver « annule » l'intégrale.

Bornes variables (Leibniz) \[\boxed{\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt=v'(x)\,f\big(v(x)\big)-u'(x)\,f\big(u(x)\big)}\] Ne pas calculer l'intégrale : repérer \(u,v,f\) et appliquer (la borne haute compte positivement). Ex. \(g(x)=\int_x^{x^2}e^{t^2}dt\Rightarrow g'(x)=2x\,e^{x^4}-e^{x^2}\).

1.11 Aires & volumes de révolution

Aires Sous une courbe : \(\mathcal{A}=\int_a^b f\) si \(f\ge0\), \(=-\int_a^b f\) si \(f\le0\). Entre deux courbes (\(f\ge g\)) : \(\boxed{\mathcal{A}=\int_a^b\big(f-g\big)\,dx}\) — toujours « dessus \(-\) dessous », après avoir trouvé les intersections et étudié le signe de \(f-g\).

Volumes de révolution Autour de \((Ox)\) (\(f\ge0\)) : \(\boxed{V=\pi\int_a^b\big(f(x)\big)^{2}dx}\). Autour de \((Oy)\), pour \(x=g(y)\) : \(V=\pi\int_{y_0}^{y_1}\big(g(y)\big)^{2}dy\). Le rayon est la distance de la courbe à l'axe de rotation ; on élève au carré avant d'intégrer.

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Primitives

\(F'=f\), \(F+k\), tableaux usuels & composées.

Intégrale & aire

\(\int_a^b f=F(b)-F(a)\), interprétation en aire.

Sommes de Riemann

\(\int_0^1 f=\lim\frac1n\sum f(\frac kn)\).

Propriétés & moyenne

Chasles, parité, valeur moyenne, T. de la moyenne.

Les 3 méthodes

Directe, IPP, changement de variable.

Th. fondamental, aires, volumes

\((\int_a^x f)'=f\), Leibniz, \(V=\pi\int f^2\).

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Méthode directe · 3 formes

Exercice 1

Calculer a) \(\displaystyle\int_0^1\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx\) ; b) \(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x^{2}}\) ; c) \(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx\).

Voir la correction

a) Forme \(\frac{u'}{u}\), \(u=x^{2}+1>0\) : \(\big[\ln(x^{2}+1)\big]_0^1=\ln2\). b) Primitive \(\arctan x\) : \(\big[\arctan x\big]_0^1=\frac\pi4\). c) Forme \(u'e^{u}\), \(u=2x\) : \(\big[\frac12 e^{2x}\big]_0^1=\dfrac{e^{2}-1}{2}\). ∎

Intégration par parties

Exercice 2

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx\).

Voir la correction

Le produit \(xe^{x}\) n'est pas une forme composée : IPP avec \(v=x\ (v'=1)\) et \(u'=e^{x}\ (u=e^{x})\) : \[\int_0^1 xe^{x}dx=\big[xe^{x}\big]_0^1-\int_0^1 e^{x}dx=e-\big[e^{x}\big]_0^1=e-(e-1)=\boxed{1}.\] La nouvelle intégrale était plus simple : bon choix. ∎

Somme de Riemann

Exercice 3

Calculer \(\displaystyle L=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}\).

Voir la correction

Factoriser \(\frac1n\) : \(\dfrac{n}{n^{2}+k^{2}}=\dfrac1n\cdot\dfrac1{1+(\frac kn)^{2}}\). C'est une somme de Riemann sur \([0,1]\) avec \(f(x)=\frac1{1+x^{2}}\) : \[L=\int_0^1\frac{dx}{1+x^{2}}=\big[\arctan x\big]_0^1=\dfrac\pi4.\] ∎

Aire entre deux courbes

Exercice 4

Aire du domaine délimité par \(\mathcal{C}_f\ (f(x)=x^{2})\) et \(\mathcal{C}_g\ (g(x)=x)\).

Voir la correction

Bornes : \(x^{2}=x\iff x(x-1)=0\Rightarrow x=0\) ou \(1\). Qui est au-dessus ? Sur \([0,1]\), \(g-f=x-x^{2}=x(1-x)\ge0\) : la droite domine. \[\mathcal{A}=\int_0^1(x-x^{2})\,dx=\Big[\tfrac{x^{2}}2-\tfrac{x^{3}}3\Big]_0^1=\tfrac12-\tfrac13=\boxed{\tfrac16}\ \text{u.a.}\] ∎

Théorème fondamental · Leibniz

Exercice 5

Soit \(\Phi(x)=\displaystyle\int_0^x\frac{dt}{1+t^{2}}\). 1) \(\Phi\) dérivable, \(\Phi'\) ? 2) Variations et identification de \(\Phi\). 3) \(g'(x)\) pour \(g(x)=\int_0^{x^{2}}\frac{dt}{1+t^{2}}\).

Voir la correction

1. \(t\mapsto\frac1{1+t^{2}}\) continue sur \(\mathbb{R}\) ⇒ (th. fondamental) \(\Phi'(x)=\frac1{1+x^{2}}\). 2. \(\Phi'>0\) ⇒ \(\Phi\) strictement croissante, et \(\Phi(0)=0\) ; or \(\arctan\) est l'unique primitive de \(\frac1{1+x^2}\) nulle en \(0\), donc \(\boxed{\Phi=\arctan}\). 3. Bornes \(u=0,\ v=x^{2}\ (v'=2x)\) : \(g'(x)=2x\cdot\frac1{1+(x^{2})^{2}}=\dfrac{2x}{1+x^{4}}\). ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Vérifiez toujours en dérivant : si \(F'=f\), la primitive est juste.

Astuce Nouvelle ligne à retenir : \(\frac1{1+x^{2}}\to\arctan x\) et \(\frac{u'}{1+u^{2}}\to\arctan u\).

Astuce Riemann : \(\int_0^1 f=\lim\frac1n\sum f(\frac kn)\) — le réflexe pour les limites de sommes.

Astuce Bornes variables : \((\int_{u}^{v} f)'=v'f(v)-u'f(u)\) — sans calculer l'intégrale.

Piège Intégrale \(\neq\) aire si \(f\) change de signe : découper avec Chasles ou intégrer \(|f|\).

Piège Changement de variable : ne jamais oublier de changer les bornes.

Piège Volume : c'est \(\pi\int f^{2}\), pas \(\pi(\int f)^{2}\) — on élève au carré avant d'intégrer.

Piège Ordre des bornes : les inégalités (positivité, moyenne) supposent \(a\le b\) ; si \(b<a\), tout s'inverse.

Formulaire à retenir

Primitive \(F\) primitive de \(f\) \(\iff F'=f\) ; toutes de la forme \(F+k\)

Puissances \(\displaystyle\int x^{n}=\frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\neq-1)\), \(\displaystyle\int\frac1x=\ln|x|\)

Exp & trigo \(\displaystyle\int e^{x}=e^{x}\), \(\displaystyle\int\cos x=\sin x\), \(\displaystyle\int\sin x=-\cos x\)

Arctangente \(\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x\)

Forme \(u'u^{n}\) \(\displaystyle\int u'u^{n}=\frac{u^{n+1}}{n+1}\)

Formes \(\frac{u'}{u}\), \(\frac{u'}{\sqrt u}\) \(\displaystyle\int\frac{u'}{u}=\ln|u|\), \(\displaystyle\int\frac{u'}{\sqrt u}=2\sqrt u\)

Formes \(u'e^{u}\), \(\frac{u'}{1+u^{2}}\) \(\displaystyle\int u'e^{u}=e^{u}\), \(\displaystyle\int\frac{u'}{1+u^{2}}=\arctan u\)

Intégrale \(\displaystyle\int_a^b f=\big[F\big]_a^b=F(b)-F(a)\) (pas de \(+k\))

Linéarité \(\displaystyle\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\!\int_a^b f+\beta\!\int_a^b g\)

Chasles \(\displaystyle\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f\)

Bornes \(\displaystyle\int_a^a f=0\), \(\displaystyle\int_a^b f=-\int_b^a f\)

Parité sur \([-a,a]\) impaire : \(\int_{-a}^{a}f=0\) ; paire : \(\int_{-a}^{a}f=2\int_0^a f\)

Riemann \(\displaystyle\int_0^1 f=\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac kn\right)\)

Valeur moyenne \(\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^b f\) ; \(\exists c,\ \int_a^b f=(b-a)f(c)\)

Intégration par parties \(\displaystyle\int_a^b u'v=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'\)

Changement de variable \(\displaystyle\int_a^b f(\varphi)\varphi'=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du\) (changer les bornes)

Théorème fondamental \(\Phi(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\Rightarrow\Phi'(x)=f(x)\)

Bornes variables (Leibniz) \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{u}^{v} f=v'f(v)-u'f(u)\)

Aire entre courbes \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b(f-g)\) si \(f\ge g\) (dessus \(-\) dessous)

Volumes de révolution \(V=\pi\displaystyle\int_a^b f(x)^{2}dx\ (Ox)\) ; \(V=\pi\displaystyle\int_{y_0}^{y_1} g(y)^{2}dy\ (Oy)\)