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2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 8
Les nombres complexes
1 · Résumé du cours
L'équation \(x^{2}=-1\) n'a aucune solution réelle. Plutôt que de s'arrêter là, on crée un nombre dont le carré vaut \(-1\) — et l'on découvre un ensemble où toute équation du second degré a des solutions, et où la géométrie du plan se calcule à l'algèbre. C'est le chapitre le plus riche du programme.
1.1 Généralités
Définition
Il existe un ensemble noté \(\mathbb{C}\), contenant \(\mathbb{R}\), muni d'une addition et d'une multiplication, et contenant un élément \(i\) tel que \(\boxed{i^{2}=-1}\). Tout \(z\in\mathbb{C}\) s'écrit de manière unique sous la forme algébrique \(z=a+ib\) avec \(a,b\in\mathbb{R}\). \(a=\operatorname{Re}(z)\) est la partie réelle, \(b=\operatorname{Im}(z)\) la partie imaginaire.
Piège — \(\operatorname{Im}(z)\) est un RÉEL
La partie imaginaire de \(z=3+2i\) est \(2\), et non \(2i\). C'est une erreur de notation très fréquente — et elle fausse tous les calculs qui suivent.
Égalité & cas particuliers
\[a+ib=a'+ib'\iff\begin{cases}a=a'\\ b=b'\end{cases}\qquad z=0\iff\begin{cases}a=0\\ b=0\end{cases}\]
\(z\) est réel \(\iff\operatorname{Im}(z)=0\) ; \(z\) est imaginaire pur \(\iff\operatorname{Re}(z)=0\).
Le principe le plus utile du chapitre
Une égalité complexe = deux équations réelles. Identifier parties réelles et parties imaginaires transforme une équation dans \(\mathbb{C}\) en deux équations dans \(\mathbb{R}\).
Puissances de \(i\)
\(i^{0}=1,\ i^{1}=i,\ i^{2}=-1,\ i^{3}=-i,\ i^{4}=1,\ \dots\) Elles sont périodiques de période \(4\) : pour \(i^{n}\), on divise \(n\) par \(4\) et l'on ne garde que le reste.
1.2 Opérations dans \(\mathbb{C}\)
Somme & produit
Pour \(z=a+ib\) et \(z'=a'+ib'\) : \(z+z'=(a+a')+i(b+b')\) et \(z\,z'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)\) (on développe, avec \(i^{2}=-1\)).
Méthode — calculer un quotient
Pour écrire \(\dfrac{z}{z'}\) sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient alors le réel \(|z'|^{2}\).
Exemple
\[\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1\times(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-i}{1^{2}+1^{2}}=\dfrac{1-i}{2}=\dfrac12-\dfrac12\,i.\]
1.3 Le plan complexe
Image & affixe
Le plan muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), à tout \(z=a+ib\) on associe le point \(M(a,b)\), appelé image de \(z\). Réciproquement, \(z\) est l'affixe de \(M\), noté \(z_M\).
Les formules géométriques de base
- Affixe d'un vecteur : \(z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A\) ;
- affixe du milieu \(I\) de \([AB]\) : \(z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}\) ;
- affixe du centre de gravité \(G\) de \(ABC\) : \(z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\) ;
- \(\vec u,\vec v\) d'affixes \(z,z'\) colinéaires \(\iff\dfrac{z'}{z}\in\mathbb{R}\) (avec \(z\neq0\)) ;
- \(A,B,C\) alignés \(\iff\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\).
Affixe d'un barycentre
Pour \(A_1,\dots,A_n\) d'affixes \(z_1,\dots,z_n\) et coefficients \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) avec \(\sum\alpha_k\neq0\), l'affixe du barycentre est
\[\boxed{\,z_G=\dfrac{\alpha_1 z_1+\dots+\alpha_n z_n}{\alpha_1+\dots+\alpha_n}=\dfrac{\sum_k\alpha_k z_k}{\sum_k\alpha_k}\,}\]
Le milieu (\(n=2\)) et le centre de gravité (\(n=3\)), à poids égaux, en sont les cas particuliers.
1.4 Conjugué
Définition
Le conjugué de \(z=a+ib\) est \(\boxed{\bar z=a-ib}\). Son image est le symétrique de celle de \(z\) par rapport à l'axe des réels.
Opérations & identité clé
\[\overline{z+z'}=\bar z+\bar{z'},\quad\overline{z\,z'}=\bar z\,\bar{z'},\quad\overline{\Big(\tfrac{z}{z'}\Big)}=\tfrac{\bar z}{\bar{z'}},\quad\overline{z^{n}}=\big(\bar z\big)^{n}.\]
Et surtout : \(\boxed{\,z\,\bar z=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}\,}\) — la clé des quotients.
Caractérisations
\(z\in\mathbb{R}\iff\bar z=z\) ; \(z\) imaginaire pur \(\iff\bar z=-z\). De plus \(z+\bar z=2\operatorname{Re}(z)\) et \(z-\bar z=2i\operatorname{Im}(z)\).
1.5 Module
Définition
Le module de \(z=a+ib\) est le réel positif \(\boxed{\,|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\,}\). C'est la distance \(OM\).
Propriétés
\[|z\,z'|=|z|\,|z'|,\quad\Big|\tfrac{z}{z'}\Big|=\tfrac{|z|}{|z'|},\quad|z^{n}|=|z|^{n},\quad|\bar z|=|z|,\]
\[|z|=0\iff z=0,\qquad|z+z'|\le|z|+|z'|\ \text{(inégalité triangulaire)}.\]
Le module est une DISTANCE
C'est la clé de toute la géométrie complexe : \(\boxed{AB=|z_B-z_A|}\). Dès que vous voyez un module d'une différence, pensez « distance » — et l'exercice devient géométrique.
Ensembles de points
- \(|z-z_A|=r\) : cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\) ;
- \(|z-z_A|=|z-z_B|\) : médiatrice du segment \([AB]\).
1.6 Argument et forme trigonométrique
Définition
Soit \(z\neq0\) d'image \(M\). On appelle argument de \(z\) toute mesure de l'angle orienté \(\big(\vec u,\overrightarrow{OM}\big)\), noté \(\arg(z)\) (défini modulo \(2\pi\)).
Méthode — trouver un argument
On pose \(r=|z|\), puis on résout le système \(\cos\theta=\dfrac{a}{r}\) et \(\sin\theta=\dfrac{b}{r}\).
Piège — le cosinus SEUL ne suffit pas
\(\cos\theta=\tfrac12\) admet deux solutions dans \(]-\pi,\pi]\) : \(\tfrac\pi3\) et \(-\tfrac\pi3\). C'est le sinus qui tranche le signe. Utilisez toujours les deux — c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Forme trigonométrique
Tout \(z\neq0\) s'écrit \(\boxed{\,z=r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)\,}\), avec \(r=|z|\) et \(\theta=\arg(z)\). Propriétés :
\[\arg(z\,z')=\arg z+\arg z',\quad\arg\tfrac{z}{z'}=\arg z-\arg z',\]
\[\arg(z^{n})=n\arg z,\quad\arg(\bar z)=-\arg z,\quad\arg(-z)=\arg z+\pi.\]
1.7 Notation exponentielle
Définition
On pose \(\boxed{e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta}\). Tout \(z\neq0\) s'écrit alors sous forme exponentielle \(\boxed{\,z=r\,e^{i\theta}\,}\). On a
\[e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')},\quad\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')},\quad\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta},\quad\big|e^{i\theta}\big|=1.\]
Formule de Moivre
Pour tout \(n\in\mathbb{Z}\) : \(\boxed{\,\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\,}\), c'est-à-dire \(\big(e^{i\theta}\big)^{n}=e^{in\theta}\).
Formules d'Euler
\[\boxed{\,\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\,},\qquad\boxed{\,\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\,}\]
À quoi servent ces deux formules — sens opposés
- Moivre sert à développer : calculer \(z^{n}\), ou exprimer \(\cos(3\theta)\) en fonction de \(\cos\theta\) ;
- Euler sert à linéariser : transformer \(\cos^{3}\theta\) en somme de \(\cos(k\theta)\) — ce qui permet ensuite de primitiver.
1.8 Sommes géométriques & angle moitié
Somme géométrique dans \(\mathbb{C}\)
Pour \(z\neq1\) et \(n\in\mathbb{N}\) : \(\boxed{\,\displaystyle\sum_{k=0}^{n}z^{k}=1+z+\dots+z^{n}=\dfrac{1-z^{\,n+1}}{1-z}\,}\) (si \(z=1\), la somme vaut \(n+1\)). Binôme de Newton : \((a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^{k}b^{\,n-k}\).
Factorisation par l'angle moitié
\[\boxed{\,1+e^{i\theta}=2\cos\tfrac\theta2\;e^{i\theta/2}\,}\qquad\boxed{\,1-e^{i\theta}=-2i\sin\tfrac\theta2\;e^{i\theta/2}\,}\]
et plus généralement \(e^{ia}+e^{ib}=2\cos\dfrac{a-b}2\;e^{\,i\frac{a+b}2}\).
Séparer module et argument
L'angle moitié transforme une somme (\(1\pm e^{i\theta}\)) en un produit : un facteur réel (\(2\cos\tfrac\theta2\) ou \(2\sin\tfrac\theta2\)) qui porte le module, et \(e^{i\theta/2}\) qui porte l'argument. Attention au signe du facteur réel : négatif, il ajoute \(\pi\) à l'argument. Associée à la somme géométrique, elle permet de calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}\).
1.9 Racines \(n\)-ièmes
Racines \(n\)-ièmes de l'unité
Soit \(n\in\mathbb{N}^{*}\). Une racine \(n\)-ième de l'unité est un \(z\) tel que \(z^{n}=1\) ; leur ensemble est \(\mathbb{U}_{n}\). L'équation \(z^{n}=1\) admet exactement \(n\) solutions : \(\boxed{\,\omega_{k}=e^{\,i\frac{2k\pi}{n}},\ k\in\{0,\dots,n-1\}\,}\).
Deux faits à retenir
- Les images de \(\mathbb{U}_{n}\) sont les sommets d'un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans le cercle unité, l'un d'eux étant \(1\) ;
- leur somme est nulle dès que \(n\ge2\) : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\omega_{k}=0\).
Le nombre \(j\)
On note \(\boxed{\,j=e^{\,i\frac{2\pi}{3}}=-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2}\,}\). Les racines cubiques de l'unité sont \(\mathbb{U}_{3}=\{1,j,j^{2}\}\), avec \(j^{2}=\bar j=\tfrac1j\), \(j^{3}=1\) et \(\boxed{\,1+j+j^{2}=0\,}\).
Racines \(n\)-ièmes d'un complexe non nul
Soit \(a=\rho\,e^{i\varphi}\neq0\). L'équation \(z^{n}=a\) admet exactement \(n\) solutions :
\[\boxed{\,z_{k}=\sqrt[n]{\rho}\;e^{\,i\frac{\varphi+2k\pi}{n}},\quad k\in\{0,\dots,n-1\}\,}\]
On les obtient toutes en multipliant l'une d'elles par les racines \(n\)-ièmes de l'unité. Méthode : mettre \(a\) sous forme exponentielle, prendre \(\sqrt[n]{\rho}\) et les arguments \(\tfrac{\varphi+2k\pi}{n}\).
1.10 Complexes et géométrie
Angle de deux vecteurs
\(\arg(z_B-z_A)\) mesure l'angle \(\big(\vec u,\overrightarrow{AB}\big)\), et
\[\boxed{\,\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)=\arg\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\ [2\pi]\,}\]
Les configurations à reconnaître
En posant \(Z=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) :
- \(A,B,C\) alignés \(\iff Z\in\mathbb{R}\) ;
- \((AB)\perp(AC)\iff Z\) imaginaire pur ;
- \(ABC\) isocèle en \(A\iff|Z|=1\) ;
- \(ABC\) rectangle isocèle en \(A\iff Z=\pm i\) ;
- \(ABC\) équilatéral \(\iff Z=e^{\pm i\pi/3}\).
1.11 L'équation du second degré dans \(\mathbb{C}\)
L'équation \(z^{2}=a\), \(a\in\mathbb{R}\)
\(a>0\) : deux solutions réelles \(\pm\sqrt a\) ; \(a=0\) : \(z=0\) ; \(a<0\) : deux solutions imaginaires pures \(\pm i\sqrt{|a|}\).
Équation \(az^{2}+bz+c=0\), coefficients réels
Soit \(\Delta=b^{2}-4ac\).
- \(\Delta>0\) : deux racines réelles \(\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\) ;
- \(\Delta=0\) : racine double \(-\dfrac{b}{2a}\) ;
- \(\Delta<0\) : deux racines complexes conjuguées \(z_{1}=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\), \(z_{2}=\overline{z_{1}}\).
Dans \(\mathbb{C}\), il y a TOUJOURS des solutions
Un discriminant négatif ne signifie plus « pas de solution », mais « deux solutions conjuguées ». Et elles le sont parce que \(a,b,c\) sont réels — si les coefficients étaient complexes, les racines n'auraient aucune raison d'être conjuguées.
Racines carrées d'un complexe (méthode algébrique)
Tout \(w\neq0\) admet deux racines carrées opposées. Pour \(w=x+iy\), on cherche \(\delta=\alpha+i\beta\) tel que \(\delta^{2}=w\) en résolvant \(\alpha^{2}-\beta^{2}=x\), \(2\alpha\beta=y\), \(\alpha^{2}+\beta^{2}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) ; le signe de \(2\alpha\beta=y\) fixe si \(\alpha,\beta\) sont de même signe.
Équation à coefficients complexes
Pour \(az^{2}+bz+c=0\) avec \(a,b,c\in\mathbb{C}\), \(a\neq0\), \(\Delta=b^{2}-4ac\) : si \(\delta\) est une racine carrée de \(\Delta\), les solutions sont \(\boxed{\,z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}\,}\). Le schéma est identique au cas réel : on ne peut plus écrire \(\sqrt\Delta\), on choisit \(\delta\).
1.12 Transformations & similitude directe
Écritures complexes
Pour \(M(z)\mapsto M'(z')\) :
- Translation de vecteur d'affixe \(b\) : \(\boxed{z'=z+b}\) ;
- Homothétie de centre \(\Omega(\omega)\), rapport \(k\in\mathbb{R}^{*}\) : \(\boxed{z'-\omega=k(z-\omega)}\) ;
- Rotation de centre \(\Omega(\omega)\), angle \(\theta\) : \(\boxed{z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)}\).
Reconnaître une transformation \(z'=\lambda z+\beta\)
- \(\lambda=1\) : translation de vecteur d'affixe \(\beta\) ;
- \(\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\) : homothétie de rapport \(\lambda\) ;
- \(|\lambda|=1,\ \lambda\neq1\) : rotation d'angle \(\arg\lambda\).
Similitude directe
Toute transformation \(\boxed{\,z'=a\,z+b,\ a\in\mathbb{C}^{*},\ b\in\mathbb{C}\,}\). Si \(a\neq1\) : centre \(\omega=\dfrac{b}{1-a}\) (point fixe), rapport \(k=|a|\), angle \(\theta=\arg(a)\), et \(z'-\omega=a(z-\omega)\).
Rotation & homothétie : deux cas particuliers
Selon \(a\) (\(a\neq1\)) : \(|a|=1\) ⇒ rotation d'angle \(\arg a\) ; \(a\in\mathbb{R}_{+}^{*}\) ⇒ homothétie de rapport \(a\) ; cas général = composée d'une rotation d'angle \(\arg a\) et d'une homothétie de rapport \(|a|\), de même centre. Une similitude directe conserve les angles orientés et multiplie toutes les distances par \(k=|a|\).
2 · Feuille de route
L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.
1
Forme algébrique
\(i^{2}=-1\), \(\operatorname{Re}/\operatorname{Im}\), une égalité = deux équations.
2
Conjugué & module
\(z\bar z=|z|^{2}\) (quotients), \(|z_B-z_A|\) = distance.
3
Argument & forme trig
Système \(\cos\) et \(\sin\), \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\).
4
Exponentielle
\(z=re^{i\theta}\), Moivre (développer), Euler (linéariser).
5
Racines \(n\)-ièmes
\(z^{n}=a\), \(\mathbb{U}_n\), polygone régulier, \(1+j+j^{2}=0\).
6
Second degré dans \(\mathbb{C}\)
\(\Delta<0\) ⇒ conjuguées ; racine carrée de \(\Delta\).
7
Géométrie
\(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) encode alignés / perpendiculaires / triangles.
8
Similitude directe
\(z'=az+b\) : centre \(\frac{b}{1-a}\), rapport \(|a|\), angle \(\arg a\).
3 · Exercices choisis
Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.
Forme exponentielle · Moivre
Exercice 1
Écrire \(z=1+i\sqrt3\) sous forme exponentielle, puis calculer \(z^{6}\).
Voir la correction
Module : \(|z|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt3)^{2}}=\sqrt4=2\).
Argument : on résout le système \(\cos\theta=\tfrac12\) et \(\sin\theta=\tfrac{\sqrt3}{2}\). Le cosinus seul autoriserait \(\pm\tfrac\pi3\) ; le sinus étant positif, \(\theta=\tfrac\pi3\). Donc \(\boxed{z=2\,e^{i\pi/3}}\).
Puissance : avec Moivre, \(z^{6}=2^{6}\,e^{i\times6\times\pi/3}=64\,e^{2i\pi}=64\). Un nombre réel — voilà pourquoi on passe en exponentielle pour les puissances. ∎
Second degré · \(\Delta<0\)
Exercice 2
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^{2}-2z+5=0\).
Voir la correction
Coefficients réels. \(\Delta=(-2)^{2}-4\times1\times5=4-20=-16<0\) : deux racines conjuguées. Comme \(\sqrt{|\Delta|}=4\) : \[z_{1}=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i,\qquad z_{2}=\overline{z_{1}}=1-2i.\] Vérif. : \(z_1+z_2=2=-\tfrac ba\) ✓ et \(z_1 z_2=(1+2i)(1-2i)=1+4=5=\tfrac ca\) ✓ ∎
Euler · linéarisation
Exercice 3
Linéariser \(\cos^{3}\theta\) (l'exprimer en somme de cosinus).
Voir la correction
Avec Euler \(\cos\theta=\tfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\) : \[\cos^{3}\theta=\dfrac{1}{8}\big(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\big)^{3}=\dfrac{1}{8}\big(e^{3i\theta}+3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}+e^{-3i\theta}\big).\] On regroupe les conjugués : \(e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}=2\cos3\theta\) et \(3(e^{i\theta}+e^{-i\theta})=6\cos\theta\), d'où \[\boxed{\cos^{3}\theta=\dfrac{\cos3\theta+3\cos\theta}{4}}.\] Sous cette forme, \(\cos^{3}\theta\) se primitive terme à terme. ∎
Racines \(n\)-ièmes
Exercice 4
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^{3}=-8\).
Voir la correction
On met le second membre sous forme exponentielle : \(-8=8\,e^{i\pi}\). Les solutions sont \[z_{k}=\sqrt[3]{8}\;e^{\,i\frac{\pi+2k\pi}{3}}=2\,e^{\,i\frac{\pi+2k\pi}{3}},\quad k\in\{0,1,2\}.\] On développe : \(z_{0}=2e^{i\pi/3}=1+i\sqrt3\), \(z_{1}=2e^{i\pi}=-2\), \(z_{2}=2e^{i5\pi/3}=1-i\sqrt3\). Les trois images forment un triangle équilatéral de centre \(O\). ∎
Transformation · rotation
Exercice 5
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(z'=i\,z+1-i\).
Voir la correction
Ici \(\lambda=i\). Comme \(|i|=1\) et \(i\neq1\), c'est une rotation d'angle \(\theta=\arg(i)=\tfrac\pi2\).
Centre = point fixe : \(\omega=i\omega+1-i\Rightarrow\omega(1-i)=1-i\Rightarrow\omega=1\). Conclusion : rotation de centre \(\Omega(1)\), angle \(\tfrac\pi2\).
Vérif. : \(z'-1=iz+1-i-1=i(z-1)\), forme \(z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\). ✓ ∎
Similitude directe
Exercice 6
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(z'=(1+i)\,z+2\).
Voir la correction
Ici \(a=1+i\neq1\) : similitude directe. \(k=|a|=\sqrt{1+1}=\sqrt2\), \(\theta=\arg(1+i)=\tfrac\pi4\).
Centre (point fixe) : \(\omega=\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{2}{1-(1+i)}=\dfrac{2}{-i}=2i\).
Conclusion : similitude directe de centre \(\Omega(2i)\), rapport \(\sqrt2\), angle \(\tfrac\pi4\) (composée d'une rotation d'angle \(\tfrac\pi4\) et d'une homothétie de rapport \(\sqrt2\), de même centre). ∎
Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.
4 · Astuces & pièges à éviter
Astuce Une égalité complexe = deux équations réelles (parties réelle et imaginaire).
Astuce \(z\bar z=|z|^{2}\) : la clé des quotients — on multiplie par le conjugué.
Astuce Puissances ⇒ forme exponentielle (Moivre) ; linéarisation ⇒ Euler.
Astuce \(|z-z_A|\) est une distance : cercle, médiatrice, configurations géométriques.
Astuce \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) encode tout : réel ⇒ alignés, imaginaire pur ⇒ perpendiculaires.
Astuce \(1+j+j^{2}=0\) (\(j=e^{2i\pi/3}\)) : réflexe pour toute expression symétrique en \(1,j,j^{2}\).
Piège \(\operatorname{Im}(z)\) est un réel : pour \(3+2i\), c'est \(2\), pas \(2i\).
Piège Pour un argument, résoudre le système \(\cos\) et \(\sin\) : le cosinus seul est ambigu.
Piège Dans \(\mathbb{C}\), \(\Delta<0\) ne veut plus dire « pas de solution » mais « deux conjuguées ».
Piège Coefficients complexes : on n'écrit jamais \(\sqrt\Delta\) — on choisit une racine carrée \(\delta\) de \(\Delta\).
Piège Composer deux transformations n'est pas commutatif : \(t\circ r\neq r\circ t\) (mêmes angles, centres différents).
Formulaire à retenir
Nombre \(i\) \(i^{2}=-1\) ; puissances périodiques de période \(4\)
Forme algébrique \(z=a+ib\), \(a=\operatorname{Re}(z)\), \(b=\operatorname{Im}(z)\) (un réel)
Égalité \(a+ib=a'+ib'\iff a=a'\) et \(b=b'\)
Conjugué \(\overline{a+ib}=a-ib\) ; \(z\bar z=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}\)
Quotient multiplier par le conjugué du dénominateur
Réel / imaginaire pur \(z\in\mathbb{R}\iff\bar z=z\) ; imaginaire pur \(\iff\bar z=-z\)
Module \(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\), \(|zz'|=|z||z'|\), \(|z^{n}|=|z|^{n}\)
Distance \(AB=|z_B-z_A|\) ; \(|z-z_A|=r\) cercle, \(|z-z_A|=|z-z_B|\) médiatrice
Argument \(\cos\theta=\tfrac ar\), \(\sin\theta=\tfrac br\) (système, modulo \(2\pi\))
Forme trigonométrique \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
Propriétés de l'argument \(\arg(zz')=\arg z+\arg z'\), \(\arg(z^{n})=n\arg z\)
Forme exponentielle \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\), \(z=re^{i\theta}\), \(|e^{i\theta}|=1\)
Moivre \((\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta\)
Euler \(\cos\theta=\tfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\), \(\sin\theta=\tfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\)
Angle moitié \(1+e^{i\theta}=2\cos\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}\), \(1-e^{i\theta}=-2i\sin\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}\)
Somme géométrique \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{\,n+1}}{1-z}\) (\(z\neq1\))
Racines de l'unité \(z^{n}=1\) : \(\omega_k=e^{i2k\pi/n}\), \(\sum\omega_k=0\), polygone régulier
Nombre \(j\) \(j=e^{2i\pi/3}\), \(j^{3}=1\), \(1+j+j^{2}=0\), \(j^{2}=\bar j\)
Racines \(n\)-ièmes de \(a=\rho e^{i\varphi}\) \(z_k=\sqrt[n]{\rho}\,e^{i(\varphi+2k\pi)/n}\), \(k=0,\dots,n-1\)
Barycentre \(z_G=\dfrac{\sum\alpha_k z_k}{\sum\alpha_k}\) (milieu, centre de gravité)
Angle de deux vecteurs \(\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)=\arg\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\)
Second degré (réels), \(\Delta<0\) \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\), conjuguées ; \(z_1+z_2=-\tfrac ba\), \(z_1z_2=\tfrac ca\)
Coefficients complexes \(z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}\), \(\delta\) racine carrée de \(\Delta\)
Translation \(z'=z+b\)
Homothétie \((k\in\mathbb{R}^{*})\) \(z'-\omega=k(z-\omega)\)
Rotation (angle \(\theta\)) \(z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\)
Similitude directe \(z'=az+b\) : centre \(\omega=\tfrac{b}{1-a}\), rapport \(|a|\), angle \(\arg a\)
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