La dérivation transforme une formule en information sur la courbe. En Sciences Maths, on va plus loin : les théorèmes de Rolle et des accroissements finisfondent l'étude des variations, et la fonction Arctangente enrichit la boîte à outils.
1.1 Nombre dérivé & tangente
Définition
\(f\) est dérivable en \(a\) si la limite suivante existe et est finie :
\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]
\(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente en \(A(a,f(a))\) : \(\boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a)}\).
Demi-tangentes
Si \(f'_d(a)\neq f'_g(a)\), \(A\) est un point anguleux (ex. \(|x|\) en \(0\), pentes \(-1\) et \(+1\)). Si le quotient tend vers \(\pm\infty\), la courbe admet une tangente verticale en \(A\).
1.2 Approximation affine locale
Propriété
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors pour \(h\) voisin de \(0\) :
\[\boxed{f(a+h)\approx f(a)+h\,f'(a)}\]
Plus précisément \(f(a+h)=f(a)+h\,f'(a)+h\,\varepsilon(h)\) avec \(\lim_{h\to0}\varepsilon(h)=0\) : au voisinage de \(a\), on remplace la courbe par sa tangente.
Exemple
Estimons \(\sqrt{4{,}02}\) avec \(f(x)=\sqrt x\), \(a=4\), \(h=0{,}02\) : \(f'(4)=\frac1{2\sqrt4}=\frac14\), donc \(\sqrt{4{,}02}\approx2+0{,}02\times\frac14=2{,}005\) (exact : \(2{,}00499\ldots\), erreur \(\sim10^{-5}\)).
1.3 Dérivabilité et continuité
Théorème
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\).
La réciproque est fausse
\(x\mapsto|x|\) est continue en \(0\) sans y être dérivable. Retenez : dérivable \(\Rightarrow\) continue, jamais l'inverse.
1.4 Dérivées usuelles & opérations
Dérivées usuelles
\[\begin{array}{c|c}
f & f' \\ \hline
x^{r}\ (r\in\mathbb{Q}) & r\,x^{r-1} \\
\dfrac1x & -\dfrac1{x^{2}} \\
\sqrt x & \dfrac1{2\sqrt x} \\
e^{x} & e^{x} \\
\ln x & \dfrac1x
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c|c}
f & f' \\ \hline
\sin x & \cos x \\
\cos x & -\sin x \\
\tan x & 1+\tan^{2}x \\
\operatorname{Arctan}x & \dfrac1{1+x^{2}} \\
\sqrt[n]{x} & \dfrac1{n\sqrt[n]{x^{\,n-1}}}
\end{array}\]
Ne jamais oublier le \(u'\)
\(\big((2x+1)^{3}\big)'=6(2x+1)^{2}\), et non \(3(2x+1)^{2}\).
1.5 Dérivée d'une fonction réciproque
Théorème
Soit \(f\) continue strictement monotone sur \(I\), bijective de \(I\) sur \(J=f(I)\). Si \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a)\neq0\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b=f(a)\) et
\[\boxed{\big(f^{-1}\big)'(b)=\frac1{f'\big(f^{-1}(b)\big)}=\frac1{f'(a)}}\]
Pentes inverses
Si la courbe de \(f\) a en \(A\) une tangente de pente \(f'(a)\), la courbe de \(f^{-1}\) a au point symétrique (par rapport à \(y=x\)) une tangente de pente \(\frac1{f'(a)}\). Si \(f'(a)=0\), cette tangente est verticale.
1.6 La fonction Arctangente
Définition
\(\tan\) est continue strictement croissante sur \(\big]-\frac\pi2,\frac\pi2\big[\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\) : c'est une bijection. Sa réciproque est l'Arctangente :
\[\boxed{y=\operatorname{Arctan}x\iff \big(x=\tan y\ \text{et}\ y\in\big]-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\big[\big)}\]
définie sur \(\mathbb{R}\).
Propriétés
\(\tan(\operatorname{Arctan}x)=x\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\). \(\operatorname{Arctan}\) est continue, impaire, strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et
\[\big(\operatorname{Arctan}x\big)'=\frac1{1+x^{2}},\qquad \lim_{x\to+\infty}\operatorname{Arctan}x=\frac\pi2,\qquad \lim_{x\to-\infty}\operatorname{Arctan}x=-\frac\pi2.\]
Une dérivée sans racine
\(\operatorname{Arctan}\) est la fonction de référence dont la dérivée est \(\frac1{1+x^{2}}\) — d'où son rôle capital en calcul intégral (primitive de \(\frac1{1+x^{2}}\)). Les droites \(y=\pm\frac\pi2\) sont deux asymptotes horizontales. Valeurs : \(\operatorname{Arctan}0=0\), \(\operatorname{Arctan}1=\frac\pi4\), \(\operatorname{Arctan}\sqrt3=\frac\pi3\).
1.7 Dérivées successives
Définition
Si \(f'\) est dérivable, sa dérivée est \(f''\) ; en itérant, on définit la dérivée \(n\)-ième \(f^{(n)}\), avec \(f^{(0)}=f\) et \(f^{(n)}=\big(f^{(n-1)}\big)'\). Ex. \(\big(e^{x}\big)^{(n)}=e^{x}\) ; pour \(x^{3}\) : \(f''=6x\), \(f'''=6\), \(f^{(4)}=0\).
1.8 Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
Théorème de Rolle
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), telle que \(f(a)=f(b)\). Alors il existe \(c\in\,]a,b[\) tel que \(\boxed{f'(c)=0}\).
Lecture géométrique : la courbe part et revient à la même hauteur ⇒ tangente horizontale entre les deux.
Théorème des accroissements finis (T.A.F.)
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\). Il existe \(c\in\,]a,b[\) tel que
\[\boxed{f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a)}\]
Il existe un point où la tangente est parallèle à la corde \((AB)\) : \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Rolle en est le cas particulier (corde horizontale).
Inégalité des accroissements finis
Si \(m\le f'(x)\le M\) sur \([a,b]\), alors \(m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)\). En particulier, si \(|f'(x)|\le k\) :
\[\boxed{|f(b)-f(a)|\le k\,|b-a|}\]
Une inégalité déjà rencontrée
C'est l'outil de la méthode de contraction des suites récurrentes (chapitre 2) : \(|f'|\le k<1\Rightarrow|u_{n+1}-\ell|\le k\,|u_n-\ell|\), d'où la convergence.
1.9 Sens de variation & extremums
Théorème
Sur un intervalle \(I\) : \(f'>0\Rightarrow f\) strictement croissante ; \(f'<0\Rightarrow f\) strictement décroissante ; \(f'=0\Rightarrow f\) constante. (C'est le T.A.F. qui le démontre : \(f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)\).)
Extremum
Si \(f'\) s'annule en changeant de signe en \(a\), \(f\) admet un extremum local en \(a\). L'annulation seule ne suffit pas : \(f'(0)=0\) pour \(x^{3}\), mais \(f'=3x^{2}\ge0\) ne change pas de signe ⇒ aucun extremum.
1.10 Concavité & points d'inflexion
Théorème
\(f''\ge0\iff\) courbe convexe ; \(f''\le0\iff\) courbe concave. Si \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(a\), \(I(a,f(a))\) est un point d'inflexion : la courbe y traverse sa tangente.
Branches paraboliques
Si \(\lim_{+\infty}f=\pm\infty\) sans asymptote oblique, on pose \(L=\lim\frac{f(x)}{x}\) : \(L=\pm\infty\) (direction \((Oy)\)) ; \(L=0\) (direction \((Ox)\)) ; \(L=a\neq0\) et \(f(x)-ax\to\pm\infty\) (direction \(y=ax\)). Direction \(\neq\) asymptote : l'écart \(f(x)-ax\) tend vers l'infini.
1.12 Symétries & plan d'étude
Symétries
\(x=a\) axe de symétrie si \(f(2a-x)=f(x)\) ; \(\Omega(a,b)\) centre de symétrie si \(f(2a-x)+f(x)=2b\). Cas particuliers : \(f\) paire (axe \((Oy)\)), \(f\) impaire (centre \(O\)).
Plan d'étude complet① Domaine \(D_f\) — ② symétries, périodicité — ③ limites ⇒ asymptotes/branches — ④ \(f'\) factorisée, signe, tableau de variations — ⑤ \(f''\) : convexité, inflexions — ⑥ points particuliers, tangentes — ⑦ tracé.
1.13 Étude complète : \(f(x)=x^{3}-3x\)
SynthèseDomaine : \(\mathbb{R}\). Symétrie : \(f(-x)=-f(x)\), impaire, centre \(O\). Limites : \(\lim_{\pm\infty}f=\pm\infty\) ; \(\frac{f(x)}{x}=x^{2}-3\to+\infty\), branche parabolique de direction \((Oy)\). Variations : \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\) ; maximum \(f(-1)=2\), minimum \(f(1)=-2\). Convexité : \(f''(x)=6x\), inflexion en \(I(0,0)\). Zéros : \(-\sqrt3,\,0,\,\sqrt3\).
Courbe de \(f\) : maximum \((-1,2)\), minimum \((1,-2)\), inflexion \(I(0,0)\), zéros \(-\sqrt3,\,0,\,\sqrt3\).
Usuelles, opérations, \((v\circ u)'\), toujours le \(u'\).
3
Réciproque & Arctangente
\((f^{-1})'=\frac1{f'\circ f^{-1}}\), \(\operatorname{Arctan}\) et sa dérivée.
4
Rolle & T.A.F.
Tangente horizontale / parallèle à la corde, inégalité des A.F.
5
Variations, convexité
Signe de \(f'\), extremums, \(f''\) et inflexions.
6
Asymptotes & étude complète
Branches, symétries, plan d'étude, tracé.
3 · Exercices choisis
Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.
Dérivée d'un quotient · tangente
Exercice 1
Soit \(f(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{x-1}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Calculer \(f'\), la tangente en \(0\) et le sens de variation.
Voir la correction
\(f'(x)=\dfrac{(2x-3)(x-1)-(x^{2}-3x)}{(x-1)^{2}}=\dfrac{x^{2}-2x+3}{(x-1)^{2}}\). \(f(0)=0\), \(f'(0)=3\) : tangente \(y=3x\). Le numérateur a \(\Delta=4-12=-8<0\) : toujours positif, donc \(f'>0\) ; \(f\) croît sur chaque intervalle de son domaine.
T.A.F. · encadrement
Exercice 2
À l'aide du T.A.F. sur \([a,b]\subset\,]0,+\infty[\), montrer que \(\dfrac{b-a}{b}\le\ln b-\ln a\le\dfrac{b-a}{a}\).
Voir la correction
\(\ln\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), \(\ln'=\frac1x\). Le T.A.F. donne \(c\in\,]a,b[\) tel que \(\ln b-\ln a=\frac1c(b-a)\). Or \(a0\) : \(\frac{b-a}{b}\le\ln b-\ln a\le\frac{b-a}{a}\). ∎
Arctangente · dérivée nulle
Exercice 3
Montrer que \(\operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\dfrac1x=\dfrac\pi2\) pour tout \(x>0\).
Voir la correction
Posons \(g(x)=\operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\frac1x\) sur \(]0,+\infty[\). Alors \(g'(x)=\frac1{1+x^{2}}+\big(-\frac1{x^{2}}\big)\frac1{1+\frac1{x^{2}}}=\frac1{1+x^{2}}-\frac1{x^{2}+1}=0\). Donc \(g\) est constante ; en \(x=1\), \(g(1)=\frac\pi4+\frac\pi4=\frac\pi2\). Ainsi \(g(x)=\frac\pi2\) pour tout \(x>0\). ∎
Composée · ne pas oublier \(u'\)
Exercice 4
Dériver \(g(x)=\operatorname{Arctan}(x^{2})\) et \(h(x)=\sqrt{x^{2}+1}\).
Soit \(f(x)=x^{3}-3x+1\) sur \([-2,2]\) — non, sur \([-\sqrt3,\sqrt3]\) où \(f(-\sqrt3)=f(\sqrt3)\). Montrer que \(f'\) s'annule sur \(]-\sqrt3,\sqrt3[\).
Voir la correction
\(f\) est polynomiale donc continue sur \([-\sqrt3,\sqrt3]\) et dérivable sur l'ouvert. Et \(f(-\sqrt3)=-3\sqrt3+3\sqrt3+1=1=f(\sqrt3)\). Le théorème de Rolle assure l'existence de \(c\in\,]-\sqrt3,\sqrt3[\) tel que \(f'(c)=0\). (Ici \(f'(x)=3x^{2}-3\) s'annule en \(\pm1\).) ∎
Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.
4 · Astuces & pièges à éviter
AstuceApproximation affine : \(f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)\) — la tangente approche la courbe près de \(a\).
AstuceRolle : même hauteur ⇒ tangente horizontale. T.A.F. : tangente parallèle à la corde.
AstuceArctangente : réciproque de \(\tan\), dérivée \(\frac1{1+x^{2}}\), asymptotes \(y=\pm\frac\pi2\).
Astuce Une identité constante ? Montrer que la dérivée est nulle, puis évaluer en un point.
PiègeDérivable \(\Rightarrow\) continue, jamais l'inverse (\(|x|\) en \(0\)).
PiègeNe jamais oublier le \(u'\) dans une composée : \(\big((2x+1)^{3}\big)'=6(2x+1)^{2}\).
PiègeExtremum : il faut que \(f'\) change de signe, pas seulement s'annule (\(x^{3}\) en \(0\)).
PiègeDirection \(\neq\) asymptote : dans une branche parabolique, l'écart \(f(x)-ax\) tend vers l'infini.
Formulaire à retenir
Nombre dérivé \(f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)