Jusqu'ici une équation cherchait un nombre. Ici, l'inconnue est une fonction, et l'équation la relie à ses dérivées. C'est le langage de la physique (décroissance radioactive, circuits RC/RLC, refroidissement), et l'outil central est l'exponentielle du chapitre 5 — l'unique fonction vérifiant \(y'=y\) et \(y(0)=1\).
1.1 Définitions & forme unitaire
Définition
Une équation différentielle a pour inconnue une fonction \(y\) et fait intervenir \(y\) et ses dérivées. Une solution sur \(I\) est une fonction dérivable qui vérifie l'égalité pour tout \(x\in I\).
Forme unitaire (réduite)
Toute équation du 1ᵉʳ ordre à coefficients constants s'écrit, après division par le coefficient de \(y'\), sous la forme \(\boxed{y'=a\,y+b}\). C'est elle qui permet de lire \(a\) et \(b\).
Piège de lecture
\(2y'+6y=4\) n'est pas sous forme unitaire. On divise par \(2\) : \(y'+3y=2\iff y'=-3y+2\), donc \(a=-3\), \(b=2\). Ne jamais lire \(a,b\) avant d'avoir ramené \(y'\) à un coefficient \(1\).
1.2 L'équation \(y'=a\,y\)
Théorème
Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \(y'=a\,y\) sont exactement les \(\boxed{y(x)=C\,e^{ax},\ C\in\mathbb{R}}\).
Pourquoi c'est exactement l'exponentielle
On cherche une fonction proportionnelle à sa dérivée : \((e^{ax})'=a\,e^{ax}\). Pour l'unicité, posons \(z=y\,e^{-ax}\) : alors \(z'=e^{-ax}(y'-ay)=0\), donc \(z\) constante \(=C\) sur l'intervalle, d'où \(y=Ce^{ax}\) (même argument que le « \(+k\) » du chapitre 6).
Unicité & linéarité
Pour tous \(x_0,y_0\), il existe une unique solution vérifiant \(y(x_0)=y_0\). De plus l'équation est linéaire : si \(y_1,y_2\) sont solutions, \(\lambda y_1+\mu y_2\) l'est encore — l'ensemble des solutions est la droite vectorielle engendrée par \(x\mapsto e^{ax}\).
1.3 L'équation \(y'=a\,y+b\)
Théorème (\(a\neq0\))
Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \(y'=a\,y+b\) sont \(\boxed{y(x)=C\,e^{ax}-\dfrac ba,\ C\in\mathbb{R}}\).
La structure à comprendre : \(y=y_p+y_h\)
La solution générale se décompose toujours en
\[y=\underbrace{-\tfrac ba}_{y_p\ \text{(sol. constante)}}+\underbrace{C\,e^{ax}}_{y_h\ \text{(sol. de }y'=ay)}.\]
La constante \(-\frac ba\) s'obtient en cherchant \(y\) constante (\(y'=0\Rightarrow 0=ay+b\)). En physique : \(-\frac ba\) est le régime permanent, \(Ce^{ax}\) le régime transitoire (qui s'éteint si \(a<0\)).
Méthode — 1ᵉʳ ordre① Mettre sous forme \(y'=ay+b\) (lire \(a,b\)). ② Écrire \(y=Ce^{ax}-\frac ba\). ③ Condition initiale ⇒ \(C\). ④ Vérifier en dérivant.
1.4 Le second ordre \(y''+a\,y'+b\,y=0\)
Équation caractéristique
À \(y''+ay'+by=0\) on associe \(\boxed{r^{2}+a\,r+b=0}\), de discriminant \(\Delta=a^{2}-4b\).
D'où elle sort
On cherche \(y=e^{rx}\) : alors \(y''+ay'+by=e^{rx}(r^{2}+ar+b)\). Comme \(e^{rx}\neq0\) toujours, l'équation équivaut à \(r^{2}+ar+b=0\). Ce n'est pas une recette : c'est ce qui reste après factorisation par l'exponentielle.
Les trois cas
\[\begin{array}{c|c|c}
\text{signe de }\Delta & \text{racines} & \text{solution générale}\\\hline
\Delta>0 & r_1\neq r_2\ \text{réelles} & y=A\,e^{r_1 x}+B\,e^{r_2 x}\\
\Delta=0 & r=-\tfrac a2\ \text{(double)} & y=(A+Bx)\,e^{rx}\\
\Delta<0 & r=p\pm iq\ \text{conjuguées} & y=e^{px}\big(A\cos qx+B\sin qx\big)
\end{array}\]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\), et dans le cas \(\Delta<0\) : \(p=-\frac a2\), \(q=\frac{\sqrt{|\Delta|}}2\).
Cas \(\Delta<0\) : les racines \(p\pm iq\) donnent des oscillations (fréquence pilotée par \(q\)) d'enveloppe \(e^{px}\) — amorties si \(p<0\), entretenues si \(p=0\), amplifiées si \(p>0\). C'est le régime d'un circuit RLC.
Le lien avec le chapitre 8
Quand \(\Delta<0\), les racines complexes conjuguées \(p\pm iq\) produisent les \(\cos\) et \(\sin\) via Euler \(e^{iqx}=\cos qx+i\sin qx\). La partie réelle \(p\) pilote l'amortissement, la partie imaginaire \(q\) pilote la fréquence.
Unicité (deux conditions) & méthode
Il existe une unique solution vérifiant \(y(x_0)=y_0\) et \(y'(x_0)=y'_0\) : deux constantes \(A,B\) ⇒ deux conditions (position et vitesse). Méthode : équation caractéristique → \(\Delta\) → solution générale → traduire les 2 conditions en un système (dériver \(y\) pour la 2ᵉ) → résoudre.
1.5 Équations se ramenant à une forme usuelle
Deux réductions classiques
Second membre constant \(y''+ay'+by=c\ (b\neq0)\) : solution particulière \(y_p=\frac cb\) ; en posant \(z=y-y_p\), \(z\) vérifie l'homogène. Donc \(y=y_p+z_h\).
Absence du terme en \(y\) \(y''+ay'=c\) : poser \(z=y'\) (ordre 1 : \(z'=-az+c\)), résoudre \(z\), puis intégrer pour \(y\).