2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 5

Les fonctions exponentielles

1 · Résumé du cours

Au chapitre 4, \(\ln\) est apparue comme une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\). Toute bijection admet une réciproque : c'est la fonction exponentielle. Elle est égale à sa propre dérivée — l'unique fonction vérifiant \(f'=f\) et \(f(0)=1\).

1.1 Définition & équivalences fondamentales

Définition La fonction exponentielle, notée \(\exp\), est la réciproque de \(\ln\) : \(\exp:\mathbb{R}\longrightarrow\,]0,+\infty[\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et tout \(y>0\) : \[\boxed{y=\exp(x)\iff x=\ln(y)}\qquad \ln\big(\exp x\big)=x,\quad \exp\big(\ln y\big)=y.\]

Deux conséquences immédiates

\(\exp\) est définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier — contrairement à \(\ln\) ;
\(\exp(x)>0\) toujours : l'ensemble d'arrivée de \(\ln\) devient l'ensemble d'arrivée de \(\exp\). Ces faits découlent de la définition, pas d'un calcul.

1.2 Le nombre \(e\) et la notation \(e^{x}\)

Notation Comme \(\ln e=1\), on a \(\exp(1)=e\), et pour \(n\in\mathbb{Z}\), \(\exp(n)=e^{n}\) : d'où la notation \(\boxed{\exp(x)=e^{x}}\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\). On retient \(e^{0}=1\), \(e^{1}=e\approx2{,}718\).

1.3 Propriétés algébriques

La propriété fondamentale Pour tous réels \(a,b\) : \(\boxed{e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}}\). \(\exp\) transforme les sommes en produits.

Conséquences Pour \(a,b\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{Z}\) : \[e^{-a}=\frac1{e^{a}},\quad e^{a-b}=\frac{e^{a}}{e^{b}},\quad \big(e^{a}\big)^{n}=e^{na},\quad e^{a/2}=\sqrt{e^{a}}.\]

Exactement l'inverse de \(\ln\) \(\ln\) change les produits en sommes ; \(\exp\) change les sommes en produits (deux réciproques). Et l'erreur est symétrique de celle du chapitre 4 : \(e^{a+b}\neq e^{a}+e^{b}\).

1.4 Dérivée & variations

Théorème \(\exp\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\boxed{(e^{x})'=e^{x}}\). C'est le théorème de la dérivée d'une réciproque (chapitre 3) : \(\exp'(x)=\dfrac1{\ln'(\exp x)}=\dfrac1{\frac1{\exp x}}=\exp x\).

Sens de variation & convexité Comme \(e^{x}>0\) : \(\exp'>0\Rightarrow\exp\) strictement croissante ; \(\exp''(x)=e^{x}>0\Rightarrow\exp\) convexe sur \(\mathbb{R}\).

1.5 Limites, courbe & symétrie avec \(\ln\)

Limites & branche infinie \[\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0^{+}\ \text{(asymptote }y=0),\qquad \lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty.\] En \(+\infty\), \(\frac{e^{x}}{x}\to+\infty\) : la courbe admet une branche parabolique de direction \((Oy)\).

Symétrie : une lecture qui fait gagner du temps \(\exp\) et \(\ln\) étant réciproques, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\). Chaque propriété de \(\ln\) se traduit : asymptote verticale \(x=0\) → asymptote horizontale \(y=0\) ; \(\ln\) concave → \(\exp\) convexe ; branche parabolique \((Ox)\) → \((Oy)\). Rien à réapprendre : on échange \(x\) et \(y\).

\(\mathcal{C}_{\exp}\) et \(\mathcal{C}_{\ln}\) sont symétriques par rapport à \(y=x\) : au point \((1,e)\) de l'une répond \((e,1)\) de l'autre.

1.6 Limites importantes & inégalité de convexité

À connaître par cœur \[\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\ \big(=\exp'(0)\big),\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}=0.\]

Croissances comparées : le sens s'inverse Au chapitre 4, la puissance l'emportait sur \(\ln\). Ici, c'est l'exponentielle qui l'emporte sur toute puissance. La hiérarchie à retenir : \(\boxed{\ln x\ \ll\ x^{n}\ \ll\ e^{x}}\).

Tangente en \(0\) La tangente à \(\mathcal{C}_{\exp}\) en \(O\) est \(y=x+1\), et la convexité donne l'inégalité utile \(\boxed{e^{x}\ge x+1\ \text{pour tout }x\in\mathbb{R}}\) (la courbe est au-dessus de sa tangente).

1.7 Exponentielle d'une fonction

Dérivée de \(e^{u}\) Si \(u\) est dérivable sur \(I\) : \(\boxed{(e^{u})'=u'\,e^{u}}\). Comme \(e^{u}>0\), le signe de \((e^{u})'\) est celui de \(u'\) : \(e^{u}\) a les mêmes variations que \(u\).

Primitives & limites composées À l'envers : une primitive de \(u'e^{u}\) est \(e^{u}\) (chapitre 6). Limites : \(\lim u=+\infty\Rightarrow\lim e^{u}=+\infty\) ; \(\lim u=-\infty\Rightarrow\lim e^{u}=0\). Exemples : \((e^{x^{2}})'=2x\,e^{x^{2}}\), \((e^{-3x})'=-3e^{-3x}\), \((e^{\sqrt x})'=\dfrac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}\).

1.8 Équations & inéquations

Propriété Pour tous réels \(a,b\) : \(e^{a}=e^{b}\iff a=b\) ; \(e^{a}<e^{b}\iff a<b\). Et \(e^{x}=k\iff x=\ln k\) si \(k>0\), aucune solution si \(k\le0\).

Méthode — le trinôme déguisé \(ae^{2x}+be^{x}+c=0\) ① Remarquer \(e^{2x}=(e^{x})^{2}\). ② Poser \(X=e^{x}\) avec la contrainte \(\boxed{X>0}\). ③ Résoudre \(aX^{2}+bX+c=0\). ④ Écarter les racines \(\le0\). ⑤ Revenir par \(x=\ln X\).

La bonne nouvelle par rapport à \(\ln\) Aucune condition d'existence à poser : \(e^{x}\) est définie partout. En revanche, vérifier la positivité du second membre avant d'appliquer \(\ln\) — c'est le piège symétrique.

1.9 Systèmes d'équations exponentielles

Méthode Poser \(X=e^{x}>0\) et \(Y=e^{y}>0\) : le système devient algébrique en \(X,Y\) (penser à \(e^{x+y}=e^{x}e^{y}=XY\)). Résoudre, écarter les valeurs \(\le0\), puis revenir par \(x=\ln X\), \(y=\ln Y\).

1.10 Exponentielle de base \(a\)

Définition Soit \(a>0\). L'exponentielle de base \(a\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\boxed{a^{x}=e^{x\ln a}}\). Cela donne un sens à \(2^{\sqrt3}\) ou \(3^{\pi}\) — à \(a^{x}\) pour tout réel \(x\).

Propriétés & étude \(a^{x+y}=a^{x}a^{y}\), \((a^{x})^{y}=a^{xy}\), \((ab)^{x}=a^{x}b^{x}\), \(\ln(a^{x})=x\ln a\). Sa dérivée \((a^{x})'=\ln a\times a^{x}\) a le signe de \(\ln a\) :

si \(a>1\) : strictement croissante, \(\lim_{-\infty}a^{x}=0\), \(\lim_{+\infty}a^{x}=+\infty\) ;
si \(0<a<1\) : strictement décroissante (limites échangées) ;
si \(a=1\) : constante égale à \(1\).

Toutes les courbes passent par \((0,1)\), avec \(y=0\) asymptote horizontale.

Limite fondamentale en base \(a\) Pour tout \(a>0\) : \(\boxed{\lim_{x\to0}\dfrac{a^{x}-1}{x}=\ln a}\) (c'est la dérivée de \(a^{x}\) en \(0\)). Le cas \(a=e\) redonne \(\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\).

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Définition & réciprocité

\(\exp\) réciproque de \(\ln\), \(y=e^{x}\iff x=\ln y\), \(e^{x}>0\).

Propriétés algébriques

\(e^{a+b}=e^{a}e^{b}\) ; l'inverse de \(\ln\).

Étude & symétrie

\((e^{x})'=e^{x}\), croissance, convexité, courbe symétrique de \(\ln\).

Limites & croissances comparées

\(\ln x\ll x^{n}\ll e^{x}\), \(e^{x}\ge x+1\).

\(e^{u}\), équations, systèmes

\((e^{u})'=u'e^{u}\), poser \(X=e^{x}>0\).

Base \(a\)

\(a^{x}=e^{x\ln a}\), sens de variation, \(\lim\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a\).

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Trinôme déguisé · \(X=e^{x}\)

Exercice 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{2x}-3e^{x}+2=0\).

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\(e^{2x}=(e^{x})^{2}\) : posons \(X=e^{x}\) avec \(\boxed{X>0}\). L'équation devient \(X^{2}-3X+2=0\iff(X-1)(X-2)=0\), donc \(X=1\) ou \(X=2\) (toutes deux \(>0\), aucune à rejeter). Retour : \(e^{x}=1\Rightarrow x=0\) ; \(e^{x}=2\Rightarrow x=\ln2\). Vérification en \(0\) : \(1-3+2=0\). ✓ \(\boxed{S=\{0\,;\,\ln2\}}\).

Étude · forme produit

Exercice 2

Soit \(f(x)=x\,e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\). Limites en \(\pm\infty\) et variations.

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En \(-\infty\) : \(x\to-\infty\), \(e^{-x}\to+\infty\), donc \(f\to-\infty\). En \(+\infty\) (F.I. \(\infty\times0\)) : \(x\,e^{-x}=\dfrac{x}{e^{x}}=\dfrac1{e^{x}/x}\to0^{+}\) (croissance comparée), asymptote \(y=0\). Produit \(u=x,\ v=e^{-x}\) (\(v'=-e^{-x}\)) : \(f'(x)=e^{-x}(1-x)\). Signe de \(1-x\) : \(f\nearrow\) sur \(]-\infty,1]\), \(f\searrow\) sur \([1,+\infty[\), maximum \(f(1)=\dfrac1e\approx0{,}37\). ∎

Inéquation · base \(<1\)

Exercice 3

Résoudre \(\left(\dfrac12\right)^{x}>8\).

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Base \(a=\frac12\in\,]0,1[\) : décroissante. M1 (comparaison) : \(8=\left(\frac12\right)^{-3}\), donc \(\left(\frac12\right)^{x}>\left(\frac12\right)^{-3}\) change de sens ⇒ \(x<-3\). M2 (logarithme) : \(x\ln\frac12>\ln8\) ; or \(\ln\frac12=-\ln2<0\), diviser par un négatif retourne l'inégalité : \(x<\dfrac{\ln8}{-\ln2}=\dfrac{3\ln2}{-\ln2}=-3\). \(\boxed{S=\,]-\infty\,;-3[}\).

Système · \(X=e^{x},\ Y=e^{y}\)

Exercice 4

Résoudre \(\begin{cases} e^{x}+e^{y}=5\\ e^{x+y}=6\end{cases}\).

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Posons \(X=e^{x}>0\), \(Y=e^{y}>0\) : \(X+Y=5\) et \(XY=6\) (car \(e^{x+y}=XY\)). \(X,Y\) racines de \(t^{2}-5t+6=0\iff(t-2)(t-3)=0\), soit \(\{X,Y\}=\{2,3\}\) (positives ✓). Retour : \((x,y)=(\ln2,\ln3)\) ou \((\ln3,\ln2)\). ∎

Dérivée de \(e^{u}\) · convexité

Exercice 5

a) Dériver \(g(x)=e^{x^{2}}\) et \(h(x)=e^{-3x}\). b) Justifier \(e^{x}\ge x+1\) sur \(\mathbb{R}\).

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a) \(g'(x)=2x\,e^{x^{2}}\) ; \(h'(x)=-3\,e^{-3x}\). b) Soit \(\varphi(x)=e^{x}-x-1\) : \(\varphi'(x)=e^{x}-1\), négative sur \(]-\infty,0]\) et positive sur \([0,+\infty[\), donc \(\varphi\) admet un minimum en \(0\) : \(\varphi(0)=0\). Ainsi \(\varphi\ge0\), c.-à-d. \(e^{x}\ge x+1\). ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce \(\exp\) est LA réciproque de \(\ln\) : tout se déduit par symétrie par rapport à \(y=x\).

Astuce \(e^{x}>0\) toujours — c'est ce qui impose \(X>0\) dans les changements de variable.

Astuce Croissances comparées : \(\ln x\ll x^{n}\ll e^{x}\) ; l'exponentielle gagne toujours.

Astuce Base \(a\) : \(a^{x}=e^{x\ln a}\) ; \(\lim_{x\to0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a\) (dérivée en \(0\)).

Piège \(e^{a+b}\neq e^{a}+e^{b}\) : la propriété concerne la somme → produit.

Piège Positivité du second membre : \(e^{x}=k\) n'a de solution que si \(k>0\).

Piège Trinôme déguisé : ne jamais oublier \(X>0\), et écarter les racines \(\le0\).

Piège Base \(<1\) : \(a^{x}\) est décroissante ⇒ les inéquations changent de sens.

Formulaire à retenir

Définition \(y=e^{x}\iff x=\ln y\ (y>0)\), \(\ln(e^{x})=x\), \(e^{\ln y}=y\)

Signe & valeurs \(e^{x}>0\) pour tout \(x\), \(e^{0}=1\), \(e^{1}=e\approx2{,}718\)

Propriété fondamentale \(e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}\)

Conséquences \(e^{-a}=\dfrac1{e^{a}}\), \(e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}\), \((e^{a})^{n}=e^{na}\)

Dérivée \((e^{x})'=e^{x}\), \((e^{u})'=u'\,e^{u}\)

Variations \(\exp\) strictement croissante et convexe sur \(\mathbb{R}\)

Limites aux bornes \(\lim_{-\infty}e^{x}=0^{+}\) (asympt. \(y=0\)), \(\lim_{+\infty}e^{x}=+\infty\)

Nombre dérivé en \(0\) \(\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1\)

Croissances comparées \(\lim_{+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty\), \(\lim_{-\infty}x\,e^{x}=0\)

Hiérarchie \(\ln x\ \ll\ x^{n}\ \ll\ e^{x}\) en \(+\infty\)

Inégalité de convexité \(e^{x}\ge x+1\) (tangente \(y=x+1\) en \(0\))

Primitive \(\displaystyle\int u'\,e^{u}=e^{u}+k\)

Équations \(e^{a}=e^{b}\iff a=b\) ; \(e^{a}<e^{b}\iff a<b\)

Résolution \(e^{x}=k\iff x=\ln k\ (k>0)\), sinon aucune solution

Trinôme déguisé poser \(X=e^{x}>0\) dans \(ae^{2x}+be^{x}+c=0\)

Symétrie \(\mathcal{C}_{\exp}\) et \(\mathcal{C}_{\ln}\) symétriques par rapport à \(y=x\)

Base \(a\) (\(a>0\)) \(a^{x}=e^{x\ln a}\), \((a^{x})'=\ln a\times a^{x}\), \(\ln(a^{x})=x\ln a\)

Sens de variation base \(a\) \(a>1\Rightarrow\nearrow\) ; \(0<a<1\Rightarrow\searrow\)

Limite base \(a\) \(\lim_{x\to0}\dfrac{a^{x}-1}{x}=\ln a\)