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ℤ
Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Arithmétique dans ℤ — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Les fondations
Division euclidienne
\(a=bq+r\)
\(0\le r<|b|\), \((q,r)\) unique
PGCD × PPCM
\(=|ab|\)
deux entiers seulement
Bézout
\(au+bv=1\)
\(\iff a\wedge b=1\)
Gauss
\(a\mid bc,\ a\wedge b=1\Rightarrow a\mid c\)
condition obligatoire !
Fermat
\(a^{p-1}\equiv1\ [p]\)
\(p\) premier, \(p\nmid a\)
2 · Les méthodes types
PGCD & Bézout
  • Euclide : \(\operatorname{pgcd}(a,b)=\operatorname{pgcd}(b,r)\)
  • couple : remonter l'algorithme
Premiers entre eux : exhiber \(au+bv=1\).
Diophantienne \(ax+by=c\)
  • ① tester \((a\wedge b)\mid c\)
  • ② simplifier par \(d\)
  • ③ solution particulière
  • ④ \((x_0+kb',\,y_0-ka')\)
Vérifier : les \(k\) disparaissent.
Grande puissance mod \(n\)
  • chercher la période : \(a^{k}\equiv1\)
  • ou Fermat si \(n=p\) premier
  • diviser l'exposant, garder le reste
Inverse dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)
  • vérifier \(a\wedge n=1\)
  • Bézout \(au+nv=1\)
  • \(\bar a^{-1}=\bar u\)
Changer de base
  • base 10→\(b\) : divisions par \(b\)
  • restes lus de bas en haut
Nombre de diviseurs
  • \(n=\prod p_i^{\alpha_i}\)
  • \(\tau(n)=\prod(\alpha_i+1)\)
3 · Réflexes & valeurs clés
\(10\equiv1\ [9]\) → somme chiffres
\(10\equiv-1\ [11]\) → somme alternée
\(2^{3}\equiv1\ [7]\) (période 3)
\(5^{2}\equiv-1\ [13]\)
\(\operatorname{pgcd}(252,105)=21\)
\(\tau(360)=24\)
\(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) : corps
\(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) : \(\bar2\bar3=\bar0\)
\(\overline{101101}^{\,2}=45\)
4 · \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) & distinctions fines
Anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)
  • \(n\) classes \(\bar0,\dots,\overline{n-1}\)
  • \(\bar a+\bar b=\overline{a+b}\), \(\bar a\bar b=\overline{ab}\)
Corps \(\iff n\) premier.
Deux à deux vs ensemble
  • ensemble : \(\operatorname{pgcd}(a_1,\dots,a_n)=1\)
  • deux à deux : \(\operatorname{pgcd}(a_i,a_j)=1\) (plus fort)
\(6,10,15\) : ensemble oui, deux à deux non.
Lien structures (ch. 12)
  • \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) = corps fini fondamental
  • éclaire Fermat (groupe mult.)
Diviseurs de zéro
  • \(n\) non premier ⇒ \(\exists\,\bar a\bar b=\bar0\), \(\bar a,\bar b\neq\bar0\)
  • ⇒ pas un corps
★ Astuces géniales
  • L'arithmétique = raisonnement : citez les conditions des théorèmes.
  • Gauss sans \(a\wedge b=1\) : erreur nº1 du chapitre.
  • Diophantienne : tester \(d\mid c\) avant tout calcul.
  • Grandes puissances ⇒ congruences / Fermat.
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