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Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Calcul intégral — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Primitives & formes composées
Définition
\(F'=f\)
toutes : \(F+k\) (vérif. en dérivant)
Puissance
\(\int u'u^{n}=\frac{u^{n+1}}{n+1}\)
\(\int\frac{u'}{\sqrt u}=2\sqrt u\)
Logarithme
\(\int\frac{u'}{u}=\ln|u|\)
reconnaître un quotient
Exp / Arctan
\(\int u'e^{u}=e^{u}\)
\(\int\frac{u'}{1+u^{2}}=\arctan u\)
Ce qui n'existe pas
primitive d'un produit
aucune formule ⇒ IPP
2 · Les 3 méthodes de calcul
① Méthode directe
  • reconnaître une forme composée
  • primitive \(F\) (ajuster le coeff.)
  • évaluer \(F(b)-F(a)\)
Ex : \(\int_0^1 e^{2x}=\frac{e^2-1}{2}\)
② Intégration par parties
  • \(\int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'\)
  • \(v\) : se simplifie en dérivant
  • \(u'\) : se primitive
Ex : \(\int_1^e\ln x=1\) (\(v=\ln x,\ u'=1\))
③ Changement de variable
  • poser \(u=\varphi(t)\), \(du=\varphi'\,dt\)
  • changer les bornes
Ex : \(\int_0^1 2t\,e^{t^2}=e-1\)
Aire entre courbes
  • intersections = bornes
  • signe de \(f-g\) (qui domine ?)
  • \(\mathcal{A}=\int(f-g)\), dessus \(-\) dessous
Volume de révolution
  • \((Ox)\) : \(V=\pi\int f^{2}dx\)
  • \((Oy)\) : \(V=\pi\int g^{2}dy\)
Piège : \(\pi\int f^2\), pas \(\pi(\int f)^2\)
Somme de Riemann
  • \(\int_0^1 f=\lim\frac1n\sum f(\frac kn)\)
  • reconnaître ⇒ calculer l'intégrale
3 · Propriétés & valeurs clés
\(\displaystyle\int_a^b f=F(b)-F(a)\)
\(\displaystyle\int_a^a f=0\)
\(\displaystyle\int_a^b f=-\int_b^a f\)
Chasles : \(\int_a^b+\int_b^c=\int_a^c\)
impaire : \(\int_{-a}^{a}f=0\)
paire : \(\int_{-a}^{a}f=2\int_0^a f\)
\(\mu=\frac1{b-a}\int_a^b f\)
\(\int_0^1 x\,dx=\frac12\)
\(\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi4\)
4 · Théorème fondamental & moyenne
Fonction intégrale
  • \(\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt\)
  • \(\Phi'(x)=f(x)\)
  • \(\Phi\) = primitive nulle en \(a\)
Clé : dériver « annule » l'intégrale.
Bornes variables (Leibniz)
  • \(\frac{d}{dx}\int_{u}^{v}f=v'f(v)-u'f(u)\)
  • ne pas calculer l'intégrale
Ex : \((\int_0^{x^2}\frac{dt}{1+t^2})'=\frac{2x}{1+x^4}\)
Théorème de la moyenne
  • \(f\) continue sur \([a,b]\)
  • \(\exists c,\ \int_a^b f=(b-a)f(c)\)
  • \(\mu\) est atteinte
Intégrale & ordre (\(a\le b\))
  • \(f\ge0\Rightarrow\int f\ge0\)
  • \(f\le g\Rightarrow\int f\le\int g\)
  • \(m\le f\le M\Rightarrow m(b{-}a)\le\int f\le M(b{-}a)\)
★ Astuces géniales
  • Un doute sur une primitive ? Dérivez-la.
  • Dans une intégrale, pas de \(+k\) : la constante s'élimine.
  • Intégrale \(\neq\) aire si \(f\) change de signe : découper (Chasles).
  • Limite de somme \(\frac1n\sum f(\frac kn)\) ⇒ pensez Riemann.
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