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ℂ
Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Les nombres complexes — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Les trois écritures
Algébrique
\(z=a+ib\)
\(i^{2}=-1\) · une égalité = deux
Trigonométrique
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
\(r=|z|\), \(\theta=\arg z\)
Exponentielle
\(z=r\,e^{i\theta}\)
pour les puissances
Conjugué
\(\bar z=a-ib\)
\(z\bar z=|z|^{2}\)
Module
\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(AB=|z_B-z_A|\)
2 · Outils de calcul
Quotient
  • multiplier par le conjugué du dénominateur
  • \((1+i)(1-i)=2\)
Clé : \(z\bar z=|z|^{2}\) rend le dénominateur réel.
Argument
  • \(\cos\theta=\tfrac ar\), \(\sin\theta=\tfrac br\)
  • résoudre le système
Piège : le cosinus seul est ambigu — le sinus tranche le signe.
Moivre — développer
  • \((e^{i\theta})^{n}=e^{in\theta}\)
  • \(z^{n}\), \(\cos 3\theta\) en \(\cos\theta\)
Euler — linéariser
  • \(\cos\theta=\tfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\)
  • \(\cos^{3}\theta=\tfrac{\cos3\theta+3\cos\theta}{4}\) ⇒ primitiver
Angle moitié
  • \(1+e^{i\theta}=2\cos\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}\)
  • \(1-e^{i\theta}=-2i\sin\tfrac\theta2\,e^{i\theta/2}\)
Puissances de \(i\)
  • période \(4\) : \(1,i,-1,-i\)
  • \(i^{n}\) : garder le reste de \(n/4\)
3 · Racines, équations & valeurs clés
\(z^{n}=1\Rightarrow\omega_k=e^{i2k\pi/n}\)
\(\sum\omega_k=0\) (\(n\ge2\))
\(j=e^{2i\pi/3}\), \(1+j+j^{2}=0\)
\(z^{n}=\rho e^{i\varphi}\Rightarrow\sqrt[n]{\rho}\,e^{i(\varphi+2k\pi)/n}\)
\(\Delta<0\Rightarrow z=\tfrac{-b\pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\)
\(z_1+z_2=-\tfrac ba\), \(z_1z_2=\tfrac ca\)
coeff. complexes : \(z=\tfrac{-b\pm\delta}{2a}\)
\(e^{i\pi}=-1\), \(e^{i\pi/2}=i\)
\(1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}\)
4 · Géométrie & transformations
\(Z=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\)
  • \(Z\in\mathbb{R}\) : alignés
  • \(Z\) imaginaire pur : \(\perp\)
  • \(|Z|=1\) : isocèle en \(A\)
  • \(Z=\pm i\) : rectangle isocèle
  • \(Z=e^{\pm i\pi/3}\) : équilatéral
Similitude \(z'=az+b\)
  • centre \(\omega=\tfrac{b}{1-a}\) (point fixe)
  • rapport \(k=|a|\), angle \(\arg a\)
Cas : \(a=1\) translation, \(|a|=1\) rotation, \(a\in\mathbb{R}_+^*\) homothétie.
Écritures réduites
  • translation \(z'=z+b\)
  • rotation \(z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\)
  • homothétie \(z'-\omega=k(z-\omega)\)
Barycentre & distance
  • \(z_G=\tfrac{\sum\alpha_k z_k}{\sum\alpha_k}\)
  • \(|z-z_A|=r\) : cercle
  • \(|z-z_A|=|z-z_B|\) : médiatrice
★ Astuces géniales
  • Une égalité complexe = deux équations réelles.
  • Puissances ⇒ exponentielle (Moivre) ; linéarisation ⇒ Euler.
  • Un module de différence ⇒ pense « distance », l'exercice devient géométrique.
  • Composer deux transformations n'est pas commutatif.
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