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Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Dérivation & étude des fonctions — Méthodes & Théorèmes

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Dériver sans erreur
Composée
\((v\circ u)'=u'\,v'(u)\)
toujours le \(u'\) !
Quotient
\(\Big(\frac uv\Big)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\)
\((\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}\)
Exp / log
\((e^{u})'=u'e^{u}\)
\((\ln u)'=\frac{u'}{u}\)
Arctan
\(\big(\operatorname{Arctan}u\big)'=\frac{u'}{1+u^{2}}\)
\((\tan x)'=1+\tan^{2}x\)
Réciproque
\(\big(f^{-1}\big)'(b)=\frac1{f'(a)}\)
\(b=f(a)\), \(f'(a)\neq0\)
2 · Les grands théorèmes
Tangente & approximation
  • \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
  • \(f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)\)
Ex : \(\sqrt{4{,}02}\approx2{,}005\)
Rolle
  • Continue \([a,b]\), dérivable \(]a,b[\)
  • \(f(a)=f(b)\Rightarrow\exists c,\ f'(c)=0\)
Idée : tangente horizontale.
Accroissements finis
  • \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\)
  • Tangente ∥ à la corde
Encadrer : \(\ln b-\ln a=\frac{b-a}{c}\)
Inégalité des A.F.
  • \(|f'|\le k\Rightarrow|f(b)-f(a)|\le k|b-a|\)
Lien : contraction des suites récurrentes.
Dérivable ⇒ continue
  • Jamais l'inverse
  • \(|x|\) continue mais non dérivable en \(0\)
Identité constante ?
  • Montrer \(g'=0\)
  • Évaluer en un point
Ex : \(\operatorname{Arctan}x+\operatorname{Arctan}\frac1x=\frac\pi2\)
3 · Dérivées usuelles
\((x^{r})'=r\,x^{r-1}\)
\(\big(\frac1x\big)'=-\frac1{x^{2}}\)
\((\sqrt x)'=\frac1{2\sqrt x}\)
\((e^{x})'=e^{x}\)
\((\ln x)'=\frac1x\)
\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)
\((\tan x)'=1+\tan^{2}x\)
\(\big(\operatorname{Arctan}x\big)'=\frac1{1+x^{2}}\)
4 · Plan d'étude d'une fonction
Étapes (7)
  • ① Domaine \(D_f\)
  • ② Symétries, période
  • ③ Limites ⇒ asymptotes
  • ④ \(f'\), signe, variations
  • ⑤ \(f''\), convexité, inflexions
  • ⑥ Points & tangentes
  • ⑦ Tracé
Extremum
  • \(f'\) s'annule en changeant de signe
Piège : \(x^{3}\) : \(f'(0)=0\) sans extremum.
Asymptote oblique \(y=ax+b\)
  • \(a=\lim\frac{f(x)}{x}\)
  • \(b=\lim\big(f(x)-ax\big)\)
Branche parabolique
  • \(L=\lim\frac{f(x)}{x}\) décide
Piège : direction \(\neq\) asymptote.
★ Astuces géniales
  • Composée : ne jamais oublier le \(u'\).
  • Rolle : même hauteur ⇒ \(f'\) s'annule.
  • Arctan : réciproque de \(\tan\), dérivée \(\frac1{1+x^{2}}\).
  • Identité constante ? \(g'=0\) puis un point.
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