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Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Les équations différentielles — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Premier ordre
Forme unitaire
\(y'=a\,y+b\)
diviser par le coeff. de \(y'\)
\(y'=ay\)
\(y=C\,e^{ax}\)
proportionnelle à sa dérivée
\(y'=ay+b\)
\(y=C\,e^{ax}-\frac ba\)
\(a\neq0\)
Structure
\(y=y_p+y_h\)
permanent + transitoire
Condition
1 condition ⇒ \(C\)
une seule à l'ordre 1
2 · Second ordre — les trois cas
Équation caractéristique
  • \(y''+ay'+by=0\)
  • \(r^{2}+ar+b=0\)
  • \(\Delta=a^{2}-4b\)
D'où : on cherche \(y=e^{rx}\), \(e^{rx}\neq0\).
Cas \(\Delta>0\)
  • \(r_1\neq r_2\) réelles
  • \(y=A\,e^{r_1 x}+B\,e^{r_2 x}\)
non oscillant
Cas \(\Delta=0\)
  • \(r=-\frac a2\) double
  • \(y=(A+Bx)\,e^{rx}\)
Ne pas oublier le facteur \(x\).
Cas \(\Delta<0\)
  • \(r=p\pm iq\), \(p=-\frac a2\), \(q=\frac{\sqrt{|\Delta|}}2\)
  • \(y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)\)
Oscillations : \(q\) fréquence, \(p\) amortissement.
Conditions initiales
  • ordre 2 ⇒ deux conditions
  • \(y(x_0)\) et \(y'(x_0)\)
  • système en \(A,B\)
Réductions
  • 2ⁿᵈ membre \(c\) : \(y_p=\frac cb\)
  • pas de \(y\) : poser \(z=y'\)
3 · Réflexes & valeurs clés
\((e^{ax})'=a\,e^{ax}\)
\(y'=y,\ y(0)=1\Rightarrow y=e^{x}\)
\(y_p=-\frac ba\) (ordre 1)
\(\Delta=a^{2}-4b\)
\(\Delta=0\Rightarrow r=-\frac a2\)
\(r^{2}+\omega^{2}=0\Rightarrow r=\pm i\omega\)
\(p<0\) : amorti
\(p=0\) : entretenu
\(p>0\) : amplifié
4 · Méthode pas à pas
Résoudre — ordre 1
  • ① forme \(y'=ay+b\)
  • ② \(y=Ce^{ax}-\frac ba\)
  • ③ condition ⇒ \(C\)
  • ④ vérifier en dérivant
Résoudre — ordre 2
  • ① \(r^{2}+ar+b=0\)
  • ② \(\Delta\) et racines
  • ③ solution générale (3 cas)
  • ④ système \(A,B\) via les 2 conditions
Lien avec ℂ (ch. 8)
  • \(e^{iqx}=\cos qx+i\sin qx\)
  • racines complexes ⇒ \(\cos,\sin\)
Physique
  • RC/RLC, désintégration
  • régime permanent + transitoire
  • position + vitesse initiales
★ Astuces géniales
  • L'inconnue est une fonction, pas un nombre.
  • Forme unitaire avant de lire \(a,b\).
  • Ordre 2 : deux constantes ⇒ deux conditions.
  • \(\Delta<0\) ⇒ oscillations \(e^{px}(\cos,\sin)\).
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