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eˣ
Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Les fonctions exponentielles — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Définition & propriétés algébriques
Réciproque de \(\ln\)
\(y=e^{x}\iff x=\ln y\)
\(y>0\) ; \(e^{x}>0\) toujours
Fondamentale
\(e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}\)
somme ⇒ produit
Quotient
\(e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}\)
\(e^{-a}=\frac1{e^{a}}\)
Puissance
\((e^{a})^{n}=e^{na}\)
\(e^{a/2}=\sqrt{e^{a}}\)
Erreur n°1
\(e^{a+b}\neq e^{a}+e^{b}\)
jamais la somme !
2 · Méthodes de résolution
Équation \(e^{x}=k\)
  • \(k>0\Rightarrow x=\ln k\)
  • \(k\le0\Rightarrow\) aucune solution
  • \(e^{a}=e^{b}\iff a=b\)
Piège : vérifier \(k>0\) d'abord.
Trinôme déguisé
  • \(e^{2x}=(e^{x})^{2}\)
  • poser \(X=e^{x}\), \(\boxed{X>0}\)
  • écarter les racines \(\le0\)
Ex : \(e^{2x}{-}3e^{x}{+}2{=}0\Rightarrow S{=}\{0,\ln2\}\)
Système exponentiel
  • \(X=e^{x},\ Y=e^{y}\ (>0)\)
  • \(e^{x+y}=XY\)
Ex : somme \(5\), \(e^{x+y}=6\Rightarrow\{\ln2,\ln3\}\)
Inéquation base \(<1\)
  • \(a^{x}\) décroissante
  • l'inégalité change de sens
Ex : \((\tfrac12)^{x}>8\Rightarrow x<-3\)
Dérivée / primitive
  • \((e^{u})'=u'\,e^{u}\)
  • signe de \(u'\) ⇒ variations de \(e^{u}\)
  • \(\int u'e^{u}=e^{u}+k\)
Croissances comparées
  • l'exponentielle l'emporte
  • \(\frac{e^{x}}{x^{n}}\to+\infty\), \(x\,e^{x}\to0\)
3 · Limites & valeurs usuelles
\(e^{0}=1\)
\(e^{1}=e\approx2{,}718\)
\(\displaystyle\lim_{-\infty}e^{x}=0^{+}\)
\(\displaystyle\lim_{+\infty}e^{x}=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{+\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{-\infty}x\,e^{x}=0\)
\((e^{x})'=e^{x}>0\ (\nearrow)\)
\(e^{x}\ge x+1\)
4 · Courbe, symétrie & base \(a\)
La fonction \(\exp\)
  • \(\nearrow\) sur \(\mathbb{R}\), convexe
  • Asymptote horizontale \(y=0\)
  • Passe par \((0,1)\) et \((1,e)\)
  • Branche parabolique dir. \((Oy)\)
Symétrie avec \(\ln\)
  • \(\mathcal{C}_{\exp}\) et \(\mathcal{C}_{\ln}\) symétriques
  • par rapport à \(y=x\)
Clé : on échange \(x\) et \(y\).
Base \(a>0\)
  • \(a^{x}=e^{x\ln a}\)
  • \((a^{x})'=\ln a\times a^{x}\)
  • \(\ln(a^{x})=x\ln a\)
Clé : le signe de \(\ln a\) décide.
Sens de variation base \(a\)
  • \(a>1\Rightarrow\nearrow\)
  • \(0<a<1\Rightarrow\searrow\)
  • \(\lim_{x\to0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a\)
★ Astuces géniales
  • \(\exp\) est LA réciproque de \(\ln\) : symétrie par \(y=x\).
  • \(e^{x}>0\) toujours ⇒ impose \(X>0\) dans un changement de variable.
  • Face à \(\ln\) ou une puissance, \(e^{x}\) gagne toujours.
  • Base \(<1\) : on retourne l'inégalité.
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