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Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths
Limites & Continuité — Méthodes & Théorèmes
Sciences Excellence — Anass Shimi1 · Identifier la forme
\(\dfrac{\infty}{\infty}\)
Infini sur infini
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^{2}+1}{x^{2}-3x}\)
\(\dfrac{0}{0}\)
Zéro sur zéro
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}\)
\(\infty-\infty\)
Infini moins infini
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x\)
\(0\times\infty\)
Zéro fois infini
\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x\)
Pas de F.I. ?
On remplace directement
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)
2 · Choisir la bonne méthode
\(\dfrac{\infty}{\infty}\)
- Factoriser le terme dominant
- Comparer les degrés
Astuce : regarde les degrés !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^{3}+2x}{x^{3}-x+1}=3\)
\(\dfrac{0}{0}\)
- Factoriser puis simplifier
- Rationaliser (conjuguée)
- Limites usuelles
Astuce : simplifie avant de remplacer !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12\)
\(\infty-\infty\)
- Même dénominateur
- Multiplier par la conjuguée
Astuce : élimine \(\infty-\infty\) !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac12\)
\(0\times\infty\)
- Écrire sous forme d'un quotient
- Se ramener à \(\frac00\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\)
Astuce : écris en fraction !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0\)
Gendarmes
- Encadrer \(g\le f\le h\)
- Bornée \(\times\) nulle \(\to0\)
Astuce : utile avec \(\sin\), \(\cos\), \(E(x)\) !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0\)
Fonctions trigo
- Se ramener à \(\frac{\sin u}{u}\to1\)
- \(\frac{1-\cos u}{u^{2}}\to\frac12\)
Astuce : ajuste le facteur devant \(\sin\) !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 5x}{x}=5\)
3 · Limites usuelles & définition « \(\varepsilon\) »
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\). Définition : \(\forall\varepsilon>0,\ \exists\alpha>0,\ 0<|x-a|<\alpha\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon\).
4 · Continuité · T.V.I. · Bijection
Continuité
- \(\lim_{x\to x_0}f=f(x_0)\)
- Prolongement : poser \(\tilde f(a)=\ell\)
Dérivable \(\Rightarrow\) continue (réciproque fausse)
T.V.I.
- \(f\) continue, \(f(a)f(b)<0\Rightarrow\exists c,\ f(c)=0\)
- Unique si strict. monotone
Dichotomie : amplitude \(\frac{b-a}{2^{n}}\)
Image d'un intervalle
- Image d'un intervalle = intervalle
- \(f([a;b])=[m;M]\)
Piège : pas \([f(a);f(b)]\) si non monotone !
Bijection · réciproque
- Continue strict. monotone \(\Rightarrow\) bijection
- \(y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)\)
- \((C_{f^{-1}})\) symétrique de \((C_f)\) / \(y=x\)
Racine nᵉ · puissance \(x^{r}\)
- \(y=\sqrt[n]{x}\iff y^{n}=x\ (x,y\ge0)\)
- \(x^{p/q}=\sqrt[q]{x^{p}},\ x>0\)
Astuce : exposant non entier \(\Rightarrow x>0\) !
Partie entière \(E(x)\)
- \(E(x)\le x
- Continue sur \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\)
Piège : \(E(-1{,}3)=-2\)
★ Astuces géniales
- Toujours identifier la forme d'abord.
- Simplifier / conjuguer avant de remplacer.
- Démo « \(\varepsilon\) » : partir de \(|f(x)-\ell|<\varepsilon\), remonter à \(|x-a|<\alpha\).
- T.V.I. : écrire « \(f\) continue » ; unicité \(\Rightarrow\) stricte monotonie.
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