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Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Les fonctions logarithmes — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Propriétés algébriques
Fondamentale
\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)
produit ⇒ somme
Quotient
\(\ln\frac ab=\ln a-\ln b\)
\(\ln\frac1b=-\ln b\)
Puissance
\(\ln(a^{r})=r\ln a\)
tout \(r\in\mathbb{Q}\)
Racine
\(\ln\sqrt[n]{a}=\frac1n\ln a\)
cas \(r=\frac1n\)
Erreur n°1
\(\ln(a{+}b)\neq\ln a+\ln b\)
jamais la somme !
2 · Méthodes de résolution
Équation avec \(\ln\)
  • ① Condition d'existence (arg. \(>0\))
  • ② Regrouper les \(\ln\)
  • ③ « Enlever » les \(\ln\)
  • ④ Confronter à la condition
Piège : la condition d'existence d'abord !
Système logarithmique
  • Poser \(X=\ln x,\ Y=\ln y\) (linéaire)
  • ou \(\ln x+\ln y=\ln(xy)\)
Ex : somme \(5\), produit \(6\) ⇒ \(\{2,3\}\)
Base \(a\)
  • \(\log_a x=b\iff x=a^{b}\)
  • \(\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}\)
Ex : \(\log_2 x=3\Rightarrow x=8\)
Inéquation base \(<1\)
  • \(\log_a\) décroissante
  • l'inégalité change de sens
Ex : \(\log_{0{,}5}x>2\Rightarrow x<0{,}25\)
Dérivée / primitive
  • \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\)
  • \(\int\frac{u'}{u}=\ln|u|+k\)
Croissances comparées
  • la puissance l'emporte
  • \(\frac{\ln x}{x}\to0\), \(x\ln x\to0\)
3 · Limites & valeurs usuelles
\(\ln1=0\)
\(\ln e=1\)
\(\displaystyle\lim_{0^{+}}\ln x=-\infty\)
\(\displaystyle\lim_{+\infty}\ln x=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1\)
\(\displaystyle\lim_{+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\)
\(\displaystyle\lim_{0^{+}}x\ln x=0\)
\(\ln'(x)=\frac1x>0\ (\nearrow)\)
4 · Étude de \(\ln\) & du log base \(a\)
La fonction \(\ln\)
  • \(\nearrow\) sur \(]0,+\infty[\), concave
  • Asymptote verticale \(x=0\)
  • Passe par \((1,0)\) et \((e,1)\)
  • Branche parabolique dir. \((Ox)\)
Signe de \(\ln\)
  • \(\ln x>0\iff x>1\)
  • \(\ln x<0\iff 0<x<1\)
\(\log_a\) : sens de variation
  • \(a>1\Rightarrow\nearrow\)
  • \(0<a<1\Rightarrow\searrow\)
  • Toutes passent par \((1,0)\)
Clé : le signe de \(\ln a\) décide.
Log décimal
  • \(\log x=\frac{\ln x}{\ln10}\)
  • \(\log(10^{n})=n\)
  • ordre de grandeur, pH
★ Astuces géniales
  • \(\ln\) est LA primitive de \(\frac1x\) nulle en \(1\).
  • Un \(\frac{u'}{u}\) ? \(\Rightarrow\) primitive \(\ln|u|\).
  • Face à une puissance, \(\ln\) perd toujours.
  • Base \(<1\) : on retourne l'inégalité.
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