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Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Calcul de probabilité — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Les fondations
Combinaisons
\(\dbinom np=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}\)
tirage simultané, sans ordre
Équiprobabilité
\(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\)
favorables / possibles
Conditionnelle
\(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
\(P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\)
Indépendance
\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)
\(\iff P_A(B)=P(B)\)
Loi binomiale
\(P(X{=}k)=\dbinom nk p^{k}(1{-}p)^{n-k}\)
\(E(X)=np\)
2 · Les méthodes types
Compter (dénombrer)
  • ① l'ordre compte-t-il ?
  • ② y a-t-il remise ?
avec remise \(n^{p}\) · sans \(A_n^{p}\) · simultané \(\binom np\).
« Au moins un »
  • passer au contraire
  • « au moins un » ⟷ « aucun »
\(P(A)=1-P(\overline A)\).
Arbre pondéré
  • multiplier le long d'un chemin
  • additionner les chemins
  • branches d'un nœud : somme \(=1\)
Totales & Bayes
  • totales : \(P(B)=\sum P(A_i)P_{A_i}(B)\)
  • Bayes : \(P_B(A_j)=\dfrac{P(A_j)P_{A_j}(B)}{P(B)}\)
totales = descendre ; Bayes = remonter.
Variable aléatoire
  • loi : \(\sum p_i=1\)
  • \(E(X)=\sum x_i p_i\)
  • \(V=\sum x_i^{2}p_i-E(X)^{2}\) (Kœnig)
Loi binomiale
  • citer les 3 conditions
  • \(P(X=k)=\binom nk p^{k}(1-p)^{n-k}\)
  • \(E=np,\ V=np(1-p)\)
3 · Réflexes & valeurs clés
« simultanément » → \(\binom np\)
« au moins un » → contraire
\(\binom n2=\dfrac{n(n-1)}{2}\)
\(\binom np=\binom n{n-p}\)
\(P(\overline A)=1-P(A)\)
\(E(X)=np\) (binomiale)
\(F_X\) : escalier, \(0\to1\)
saut de \(F_X\) en \(x_i\) \(=p_i\)
sans remise ⇒ pas binomiale
4 · Distinctions fines
Indépendants vs incompatibles
  • incompatibles : \(A\cap B=\varnothing\)
  • indépendants : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)
presque le contraire l'un de l'autre !
\(P_A(B)\) vs \(P_B(A)\)
  • ce sont deux nombres différents
  • passer de l'un à l'autre : Bayes
erreur classique de les confondre.
Arrangement vs combinaison
  • arrangement : ordre compte
  • combinaison : \(=\dfrac{A_n^{p}}{p!}\)
\(E(X)\) n'est pas une valeur de \(X\)
  • c'est la moyenne sur un grand nombre d'essais
  • \(\sigma(X)\) = dispersion
★ Astuces géniales
  • Toujours modéliser avant de calculer : ordre ? remise ?
  • Un doute en conditionnelle ⇒ dessiner l'arbre.
  • « Au moins un » ⇒ contraire, presque toujours plus court.
  • Loi binomiale : les 3 conditions sont au barème — écrivez-les.
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