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uₙ
Fiche de révision · 2ᵉ Bac Sciences Maths

Limite d'une suite — Méthodes & Théorèmes

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Suites de référence & sommes
Arithmétique
\(u_{n+1}=u_n+r\)
\(u_n=u_0+nr\)
Géométrique
\(u_{n+1}=q\,u_n\)
\(u_n=u_0\,q^{\,n}\)
Somme arith.
nb × moyenne
\((n{-}p{+}1)\dfrac{u_p+u_n}{2}\)
Somme géo.
\(q\neq1\)
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^{k}=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\)
Compter
nb de termes
de \(u_p\) à \(u_n\) : \(n-p+1\)
2 · Prouver une limite — la bonne méthode
\(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac00\)…
  • Méthodes du chapitre 1
  • Factoriser le terme dominant
  • Quantité conjuguée
Ex : \(\displaystyle\lim\frac{n^{2}-n}{2n^{2}+1}=\frac12\)
Gendarmes
  • Encadrer \(u_n\le v_n\le w_n\)
  • Déclencheur : \(\sin n\), \(\cos n\)
Astuce : \(-1\le\sin n\le1\) !
Ex : \(\displaystyle\lim\frac{\sin n}{n}=0\)
Convergence monotone
  • Croissante + majorée ⇒ converge
  • Décroissante + minorée ⇒ converge
Piège : \(\ell\le M\), pas \(\ell=M\) !
Comparaison
  • \(u_n\ge v_n\to+\infty\Rightarrow u_n\to+\infty\)
Astuce : pour \(+\infty\), il faut minorer !
Suites adjacentes
  • \(\nearrow\), \(\searrow\), \(v_n-u_n\to0\)
  • Même limite, \(u_n\le\ell\le v_n\)
Définition « \(\varepsilon\) »
  • Résoudre \(|u_n-\ell|<\varepsilon\)
  • \(N=\lfloor\text{valeur}\rfloor+1\)
3 · Limites usuelles & \(q^{n}\)
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0\)
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac1{n^{2}}=0\)
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac1{\sqrt n}=0\)
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^{k}=+\infty\ (k>0)\)
\(q^{n}\to0\) si \(|q|<1\)
\(q^{n}\to+\infty\) si \(q>1\)
\(q^{n}\) diverge si \(q\le-1\)
4 · Suites récurrentes \(u_{n+1}=f(u_n)\)
Méthode (4 étapes)
  • ① Bornée (récurrence)
  • ② Monotonie
  • ③ Convergence monotone
  • ④ Résoudre \(\ell=f(\ell)\), écarter
Piège : convergence d'abord, point fixe ensuite !
Point fixe
  • \((u_n)\) converge + \(f\) continue
  • \(\Rightarrow\ell=f(\ell)\)
Ex : \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\Rightarrow\ell=2\)
Arithmético-géo \(u_{n+1}=au_n+b\)
  • \(\ell=\frac{b}{1-a}\)
  • \(v_n=u_n-\ell\) géométrique de raison \(a\)
  • \(u_n=\ell+(u_0-\ell)a^{n}\)
Contraction (SM)
  • \(|f'(x)|\le k<1\) sur \(I\)
  • \(|u_n-\ell|\le k^{n}|u_0-\ell|\to0\)
Astuce : convergence géométrique, rapide !
★ Astuces géniales
  • Bornée \(\neq\) convergente : \((-1)^{n}\) le prouve.
  • Un \(\sin n\) / \(\cos n\) ? \(\Rightarrow\) gendarmes.
  • Pour \(q^{n}\), c'est \(|q|\) qui décide.
  • Récurrente : prouver la convergence avant de résoudre \(\ell=f(\ell)\).
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