Le chapitre des limites ouvre l'analyse : dérivation, étude de fonctions et primitives en dépendent. L'objectif n'est pas d'apprendre des recettes, mais d'acquérir un réflexe — identifier la forme, puis choisir la méthode.
1.1 Notion de limite
Définition
Soit \(f\) une fonction et \(a\) un réel.
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\) : \(f(x)\) devient aussi proche que l'on veut de \(\ell\) dès que \(x\) est assez proche de \(a\).
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\) : \(f(x)\) dépasse tout réel dès que \(x\) est assez proche de \(a\).
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) : \(f(x)\) devient aussi proche que l'on veut de \(\ell\) dès que \(x\) est assez grand.
Limites à gauche / à droite : \(\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f\) (par valeurs inférieures) et \(\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f\) (par valeurs supérieures). La limite en \(a\) existe \(\iff\) ces deux limites existent et sont égales.
Le premier réflexe
Avant tout calcul, remplacez directement — si les fonctions sont continues au point et les opérations définies. Un nombre ? c'est fini. Une forme indéterminée ? c'est un signal : il faut transformer l'expression, ce n'est jamais une réponse.
1.2 La définition formelle : le langage des « \(\varepsilon\) »
« Aussi proche que l'on veut » est une image ; en Sciences Maths, on doit savoir la traduire en quantificateurs. C'est cette définition qui permet de démontrer une limite, pas seulement de la calculer.
Limite finie en un point
\[\big(\forall\varepsilon>0\big)\,\big(\exists\alpha>0\big)\,\big(\forall x\in D_f\big)\quad 0<|x-a|<\alpha\ \Longrightarrow\ |f(x)-\ell|<\varepsilon.\]
Pour toute marge \(\varepsilon\) imposée d'avance, on sait trouver un voisinage de \(a\) où \(f\) reste dans la bande \(]\ell-\varepsilon,\ \ell+\varepsilon[\). La condition \(0<|x-a|\) exclut \(x=a\) : la limite décrit le comportement au voisinage de \(a\), indépendamment de \(f(a)\).
Lire les quantificateurs dans le bon ordre
\(\forall\varepsilon\) puis \(\exists\alpha\) : \(\alpha\) dépend de \(\varepsilon\). L'adversaire choisit \(\varepsilon\) aussi petit qu'il veut, c'est à vous de fournir un \(\alpha\) qui marche. En pratique, une démonstration se fait à l'envers : on part de \(|f(x)-\ell|<\varepsilon\), on la transforme jusqu'à \(|x-a|<\)(quelque chose), et ce « quelque chose » est le \(\alpha\) cherché.
1.3 Opérations sur les limites & formes indéterminées
La limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient se déduit des limites de chaque terme — sauf dans quatre cas, les formes indéterminées :
Les 4 formes indéterminées (F.I.)
\[\dfrac{0}{0}\;,\quad \dfrac{\infty}{\infty}\;,\quad \infty-\infty\;,\quad 0\times\infty.\]
Hors F.I. : le signe des cases infinies suit la règle des signes ; « \(0^{\pm}\) » précise si le dénominateur tend vers \(0\) par valeurs positives ou négatives.
1.4 Théorèmes de comparaison
Théorème des gendarmes
Au voisinage de \(a\) (réel ou \(\pm\infty\)) :
Si \(g(x)\le f(x)\le h(x)\) et \(\displaystyle\lim g=\lim h=\ell\) (finie), alors \(\displaystyle\lim f=\ell\).
Si \(f(x)\ge g(x)\) et \(\displaystyle\lim g=+\infty\), alors \(\displaystyle\lim f=+\infty\) (et le symétrique en \(-\infty\)).
Bornée \(\times\) nulle : si \(f\) est bornée au voisinage de \(a\) et \(\displaystyle\lim g=0\), alors \(\displaystyle\lim (f\,g)=0\).
1.5 Limites usuelles
À connaître par cœur
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac12,\]
\[\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0,\]
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0,\qquad \lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty.\]
Ajuster le facteur : \(\displaystyle\frac{\sin(5x)}{x}=5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}\to5\) — le dénominateur doit être identique à l'argument du sinus.
1.6 Lever une indétermination
\(\frac{\infty}{\infty}\) de polynômes : factoriser par le terme de plus haut degré ; la limite ne dépend que des termes dominants.
\(\frac00\) : factoriser puis simplifier le facteur qui s'annule ; s'il y a une racine, multiplier par la quantité conjuguée.
\(\infty-\infty\) avec racine : \(\displaystyle\sqrt{A}-B=\frac{A-B^{2}}{\sqrt{A}+B}\) — on retombe sur \(\frac{\infty}{\infty}\).
\(0\times\infty\) : réécrire le produit sous forme de quotient.
1.7 Continuité
Définition
\(f\) est continue en \(a\) lorsque \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\), c'est-à-dire \(\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f=\lim_{x\to a^{+}}f=f(a)\).
Polynômes continus sur \(\mathbb{R}\) ; rationnelles sur leur domaine ; \(\sqrt{\ }\) sur \([0,+\infty[\).
\(\sin,\cos,\exp\) continues sur \(\mathbb{R}\) ; \(\ln\) sur \(]0,+\infty[\).
Somme, produit, quotient (dénominateur \(\neq0\)) et composée de fonctions continues sont continues.
Si \(f\) est dérivable en \(a\) alors \(f\) est continue en \(a\) ; la réciproque est fausse (\(x\mapsto|x|\) en \(0\)).
Prolongement par continuité
Soit \(f\) définie sur \(I\setminus\{a\}\). Si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\) est finie, on prolonge \(f\) en posant \(\tilde f(a)=\ell\) : \(\tilde f\) est alors continue en \(a\). On « bouche le trou » avec la seule valeur qui rende \(f\) continue.
1.8 Théorème des valeurs intermédiaires & dichotomie
T.V.I.
Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), alors pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe \(c\in[a;b]\) tel que \(f(c)=k\).
Cas usuel : si \(f(a)\cdot f(b)<0\), l'équation \(f(x)=0\) admet une solution dans \(]a;b[\).
Si de plus \(f\) est strictement monotone, cette solution est unique.
Dichotomie : on calcule le milieu \(c=\frac{a+b}{2}\) ; on garde la moitié où \(f\) change de signe et on recommence. Après \(n\) étapes, l'amplitude vaut \(\dfrac{b-a}{2^{n}}\).
1.9 Image d'un intervalle par une fonction continue
Théorèmes
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment \([a;b]\) est un segment : \(f([a;b])=[m;M]\), où \(m\) et \(M\) sont le minimum et le maximum de \(f\) sur \([a;b]\).
Ne pas confondre
\(f([a;b])=[m;M]\) et non \([f(a);f(b)]\) ! Ces deux écritures ne coïncident que si \(f\) est monotone — sinon le maximum peut être atteint à l'intérieur de l'intervalle.
1.10 Fonction réciproque
Théorème de la bijection
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), elle réalise une bijection de \(I\) sur \(J=f(I)\) et admet une réciproque \(f^{-1}:J\to I\), continue et de même sens de variation que \(f\).
\(f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y\) ; \(f^{-1}\circ f(x)=x\) et \(f\circ f^{-1}(y)=y\).
\((C_f)\) et \((C_{f^{-1}})\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\).
La courbe de \(f^{-1}\) est l'image de celle de \(f\) par la symétrie d'axe \(y=x\) : les coordonnées d'un point s'échangent.
1.11 Racine nᵉ & puissance d'exposant rationnel
Racine nᵉ
Pour \(n\in\mathbb{N}^{*}\), \(x\mapsto x^{n}\) est une bijection de \([0,+\infty[\) sur \([0,+\infty[\) ; sa réciproque est la racine nᵉ \(x\mapsto\sqrt[n]{x}\) : pour \(x,y\ge0\), \(y=\sqrt[n]{x}\iff y^{n}=x\).
\[\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\,\sqrt[n]{y},\qquad \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[nm]{x},\qquad \sqrt[n]{x^{m}}=\big(\sqrt[n]{x}\big)^{m}.\]
Puissance rationnelle
Pour \(x>0\) et \(r=\frac pq\in\mathbb{Q}\) : \(\displaystyle x^{r}=\sqrt[q]{x^{p}}=\big(\sqrt[q]{x}\big)^{p}\). Les règles des puissances entières se prolongent :
\[x^{r}x^{r'}=x^{r+r'},\quad \frac{x^{r}}{x^{r'}}=x^{r-r'},\quad (x^{r})^{r'}=x^{rr'},\quad (xy)^{r}=x^{r}y^{r}.\]
\(x\mapsto x^{r}\) est continue sur \(]0,+\infty[\), croissante si \(r>0\), décroissante si \(r<0\).
Toujours \(x>0\)
Dès que l'exposant n'est pas entier, on travaille sur \(]0,+\infty[\) : écrire \(x^{r}\) pour \(x<0\) n'a pas de sens ici.
1.12 La fonction partie entière
Définition
Pour tout réel \(x\), il existe un unique entier \(n\in\mathbb{Z}\) tel que \(n\le xpartie entière \(E(x)=\lfloor x\rfloor\). Ainsi \(E(x)\le x
Piège du négatif : \(E(2{,}7)=2\), \(E(5)=5\), mais \(E(-1{,}3)=-2\) (l'entier immédiatement inférieur). \(E\) est constante sur chaque \([n;n+1[\), continue à droite en chaque entier, discontinue à gauche : continue sur \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\).
2 · Feuille de route
L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre, du plus fondamental au plus exigeant.
1
Limites & formes indéterminées
Reconnaître la F.I. avant tout calcul ; maîtriser le terme dominant.
2
Définition « \(\varepsilon\) »
Démontrer une limite avec les quantificateurs ; nier une limite.
Une sélection représentative couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.
Limites · terme dominant & trigo
Exercice 1
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{3}+2x}{x^{3}-x+1}\), \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}\).
Voir la correction
a) Polynômes de même degré : rapport des coefficients dominants \(=\frac31=3\). b) \(\frac{\sin(5x)}{x}=5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}\to5\). c) Limite usuelle : \(\frac12\).
Définition · démontrer une limite
Exercice 2
À l'aide de la définition, montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to3}(2x+1)=7\).
Voir la correction
Soit \(\varepsilon>0\). On a \(|(2x+1)-7|=2|x-3|\). Il suffit que \(2|x-3|<\varepsilon\), soit \(|x-3|<\frac{\varepsilon}{2}\). Le choix \(\alpha=\frac{\varepsilon}{2}\) convient : \(0<|x-3|<\alpha\Rightarrow|(2x+1)-7|<\varepsilon\). \(\blacksquare\)
Forme \(\infty-\infty\). \(\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\dfrac12\).
T.V.I. · existence & unicité
Exercice 4
Montrer que \(f(x)=x^{3}+x-1\) admet une unique racine \(\alpha\in[0;1]\), puis l'encadrer par dichotomie (deux étapes).
Voir la correction
\(f\) continue sur \([0;1]\), \(f(0)=-1<0\), \(f(1)=1>0\) ⇒ (T.V.I.) une racine dans \(]0;1[\). \(f'(x)=3x^{2}+1>0\) ⇒ stricte croissance ⇒ unicité. Dichotomie : \(f(0{,}5)=-0{,}375<0\Rightarrow\alpha\in]0{,}5;1[\) ; \(f(0{,}75)\approx0{,}17>0\Rightarrow\alpha\in]0{,}5;0{,}75[\).
Continuité · prolongement
Exercice 5
Étudier la continuité en \(0\) de \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) (\(x\neq0\)), \(f(0)=1\).
Voir la correction
Sur \(\mathbb{R}^{*}\), quotient de fonctions continues (dénominateur \(\neq0\)) ⇒ \(f\) continue. En \(0\) : \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1=f(0)\) ⇒ \(f\) continue en \(0\), donc sur \(\mathbb{R}\). (C'est le prolongement par continuité de \(\frac{\sin x}{x}\).)
Bijection · réciproque
Exercice 6
Soit \(f(x)=\sqrt{x-2}\) sur \(I=[2;+\infty[\). Montrer que \(f\) admet une réciproque et déterminer \(f^{-1}\).
Voir la correction
\(f\) continue et strictement croissante sur \([2;+\infty[\) ⇒ bijection vers \(J=[0;+\infty[\). \(y=\sqrt{x-2}\Rightarrow x=y^{2}+2\), donc \(f^{-1}(x)=x^{2}+2\) sur \([0;+\infty[\).
Puissances rationnelles
Exercice 7
Simplifier \(8^{2/3}\) et \(x^{3/2}\) (\(x\ge0\)), puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{-1/2}\).
Voir la correction
\(8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^{2}=2^{2}=4\) ; \(x^{3/2}=x\sqrt{x}\). Comme \(r=-\frac12<0\), \(x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to0\).
Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.
4 · Astuces & pièges à éviter
AstuceToujours nommer la forme indéterminée avant de calculer : c'est elle qui dicte la technique.
Astuce\(\infty-\infty\) avec racine : multiplier par la quantité conjuguée.
AstuceLimites trigo : se ramener à \(\frac{\sin u}{u}\to1\) en ajustant le facteur.
AstuceDémonstration « \(\varepsilon\) » : partir de \(|f(x)-\ell|<\varepsilon\) et remonter jusqu'à \(|x-a|<\alpha\).
PiègeOrdre des quantificateurs : \(\alpha\) dépend de \(\varepsilon\) ; les inverser rend l'énoncé faux.
PiègeImage d'un segment : \(f([a;b])=[m;M]\), pas \([f(a);f(b)]\) (sauf si \(f\) est monotone).
PiègePartie entière d'un négatif : \(E(-1{,}3)=-2\), pas \(-1\).
PiègeT.V.I. : écrire que \(f\) est continue fait partie du barème ; l'unicité exige la stricte monotonie.