2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 4

Les fonctions logarithmes

1 · Résumé du cours

Une seule fonction usuelle résistait à la primitivation : \(x\mapsto\frac1x\) (aucune \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) ne marche pour \(n=-1\)). Le logarithme népérien est né pour combler ce trou — et il transforme, au passage, les produits en sommes.

1.1 La fonction logarithme népérien

Définition La fonction \(x\mapsto\frac1x\) est continue sur \(]0,+\infty[\) : elle y admet des primitives (chapitre 6). On appelle logarithme népérien, noté \(\ln\), l'unique primitive de \(\frac1x\) sur \(]0,+\infty[\) qui s'annule en \(1\) : \[\boxed{\ln'(x)=\frac1x\quad\text{et}\quad\ln(1)=0}\qquad\text{c.-à-d.}\qquad\boxed{\ln(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}}\]

Lire la définition intégrale Pour \(x>1\), \(\ln x\) est l'aire sous la courbe de \(\frac1t\) entre \(1\) et \(x\) : positive, donc \(\ln x>0\). Pour \(0<x<1\), on intègre « à l'envers », l'aire est comptée négativement, donc \(\ln x<0\). La définition contient déjà le signe de \(\ln\).

1.2 Propriétés algébriques

La propriété fondamentale Pour tous \(a>0\) et \(b>0\) : \(\boxed{\ln(ab)=\ln a+\ln b}\). Elle transforme les produits en sommes.

Conséquences Pour \(a>0,\ b>0,\ n\in\mathbb{Z}\) : \[\ln\frac1b=-\ln b,\quad \ln\frac ab=\ln a-\ln b,\quad \ln(a^{n})=n\ln a,\] \[\ln\sqrt a=\tfrac12\ln a,\qquad \ln\sqrt[n]{a}=\tfrac1n\ln a.\]

Une seule règle : \(\ln(a^{r})=r\ln a\) pour tout \(r\in\mathbb{Q}\) Les deux dernières égalités ne sont que les cas \(r=\frac12\) et \(r=\frac1n\) d'une seule règle : pour tout rationnel \(r=\frac pq\) et tout \(a>0\), \(\boxed{\ln(a^{r})=r\ln a}\). En effet \(a^{r}=\sqrt[q]{a^{p}}\) (puissance rationnelle, chapitre 1), donc \(\ln(a^{r})=\frac1q\ln(a^{p})=\frac pq\ln a\).

L'erreur n°1 du chapitre \(\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b\). La propriété concerne le produit, jamais la somme. Vérifiez : \(\ln(1+1)=\ln2\approx0{,}69\), alors que \(\ln1+\ln1=0\).

1.3 Dérivée, variations, concavité, signe

Propriété Sur \(]0,+\infty[\) : \(\ln'(x)=\dfrac1x>0\Rightarrow\ln\) strictement croissante ; \(\ln''(x)=-\dfrac1{x^{2}}<0\Rightarrow\ln\) concave.

Signe de \(\ln\) \(\ln x=0\iff x=1\) ; \(\ln x>0\iff x>1\) ; \(\ln x<0\iff 0<x<1\).

1.4 Limites aux bornes, le nombre \(e\) et la courbe

Limites & branche infinie \[\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty\quad\text{(asymptote verticale }x=0),\qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.\] Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\), la courbe admet une branche parabolique de direction \((Ox)\) : \(\ln\) tend vers l'infini, mais de plus en plus lentement.

Le nombre \(e\) \(\ln\) est continue et strictement croissante de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\) : c'est une bijection (chapitre 1). L'équation \(\ln x=1\) admet donc une unique solution, notée \(e\) : \(\boxed{\ln(e)=1},\ e\approx2{,}718\). Pour tout \(n\in\mathbb{Z}\), \(\ln(e^{n})=n\).

\(\mathcal{C}_{\ln}\) : asymptote verticale \(x=0\), passage par \((1,0)\) et \((e,1)\), croissance lente et concavité vers le bas.

1.5 Limites importantes

À connaître par cœur \[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\qquad \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1,\] \[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0,\qquad \lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{n}}=0\ (n>0).\]

Croissances comparées : qui gagne ? Face à un conflit entre \(\ln\) et une puissance de \(x\), c'est toujours la puissance qui l'emporte. Les deux premières limites, elles, ne sont que le nombre dérivé de \(\ln\) en \(1\) : \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x-\ln1}{x-1}=\ln'(1)=1\).

1.6 Dérivée logarithmique & primitives

Dérivée de \(\ln u\) Si \(u\) est dérivable et strictement positive sur \(I\) : \(\boxed{(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}}\). Plus généralement, si \(u\) ne s'annule pas : \((\ln|u|)'=\dfrac{u'}{u}\).

La conséquence en primitives En lisant la formule à l'envers : une primitive de \(\dfrac{u'}{u}\) est \(\ln|u|\) (forme composée du chapitre 6). Exemples : \((\ln(x^{2}+1))'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}\) ; \((\ln(3x-5))'=\dfrac{3}{3x-5}\) pour \(x>\frac53\).

1.7 Équations & inéquations

Propriété Pour \(a>0\) et \(b>0\) : \(\ln a=\ln b\iff a=b\) ; \(\ln a<\ln b\iff a<b\) (stricte croissance).

Méthode — résoudre une équation avec \(\ln\) ① Poser la condition d'existence : tout argument d'un \(\ln\) doit être strictement positif (l'étape qu'on oublie). ② Regrouper les \(\ln\) d'un même côté. ③ « enlever » les \(\ln\) par stricte croissance. ④ Résoudre, puis confronter à la condition d'existence pour écarter les solutions parasites.

1.8 Systèmes d'équations logarithmiques

Méthode ① Poser les conditions d'existence (\(x>0,\ y>0,\dots\)). ② Soit poser \(X=\ln x,\ Y=\ln y\) pour se ramener à un système linéaire ; soit utiliser \(\ln x+\ln y=\ln(xy)\) pour obtenir somme et produit de \(x,y\). ③ Revenir aux inconnues, puis confronter aux conditions.

1.9 Logarithme de base \(a\)

Définition Soit \(a>0\) avec \(a\neq1\). Le logarithme de base \(a\) est défini sur \(]0,+\infty[\) par \(\boxed{\log_a(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}}\). Si \(a=1\), \(\ln a=0\) : le dénominateur s'annule, la définition n'a aucun sens.

Propriétés & étude \(\log_a\) hérite des propriétés de \(\ln\) (ce n'est qu'un multiple) : \(\log_a1=0\), \(\log_a a=1\), \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\), \(\log_a(x^{n})=n\log_a x\). Sa dérivée \(\log_a'(x)=\dfrac1{x\ln a}\) a le signe de \(\ln a\) :

si \(a>1\) : \(\log_a\) strictement croissante ;
si \(0<a<1\) : \(\log_a\) strictement décroissante.

Toutes les courbes passent par \((1,0)\), avec l'axe \((Oy)\) pour asymptote verticale.

Résoudre en base \(a\) Pour \(a>0,\ a\neq1,\ x>0,\ b\in\mathbb{R}\) : \(\boxed{\log_a x=b\iff x=a^{b}}\) (car \(\log_a x=b\iff\ln x=b\ln a\)). En particulier \(\log_a x=\log_a y\iff x=y\) et \(\log_a(a^{k})=k\).

Piège — sens des inéquations Pour \(0<a<1\), \(\log_a\) est décroissante : \(\log_a x<\log_a y\iff x>y\) — l'inégalité change de sens. Avec une base \(>1\), on la garde.

1.10 Le logarithme décimal

Définition Le logarithme décimal est le logarithme de base \(10\), noté \(\log\) : \(\boxed{\log(x)=\log_{10}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 10}}\). Ainsi \(\log10=1\), \(\log100=2\), \(\log(10^{n})=n\).

À quoi il sert Le logarithme décimal « compte les zéros » : il donne l'ordre de grandeur d'un nombre. D'où sa présence en physique et chimie — notamment le pH : \(\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H_3O^+}]\).

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Définition & propriétés

\(\ln\) primitive de \(\frac1x\) nulle en \(1\) ; \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\).

Étude de \(\ln\)

Croissance, concavité, signe, limites, le nombre \(e\).

Limites & croissances comparées

Limites usuelles, la puissance l'emporte, nombre dérivé en \(1\).

Dérivée logarithmique

\((\ln u)'=\frac{u'}{u}\), primitive de \(\frac{u'}{u}=\ln|u|\).

Équations, inéquations, systèmes

Condition d'existence d'abord, confronter à la fin.

Base \(a\) & log décimal

\(\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}\), sens de variation, \(\log_a x=b\iff x=a^{b}\).

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Équation · condition d'existence

Exercice 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\ln(x)+\ln(x-2)=\ln(3)\).

Voir la correction

Condition d'existence : \(x>0\) et \(x-2>0\), donc \(\boxed{x>2}\). Résolution : \(\ln(x)+\ln(x-2)=\ln\big(x(x-2)\big)=\ln3\), d'où par stricte croissance \(x(x-2)=3\iff x^{2}-2x-3=0\iff(x-3)(x+1)=0\). On trouve \(x=3\) ou \(x=-1\). Confrontation : \(x>2\) écarte \(-1\) (et \(\ln(-1)\) n'existe pas). Vérification : \(\ln3+\ln1=\ln3\). ✓ Unique solution \(\boxed{x=3}\).

Étude · maximum en \(e\)

Exercice 2

Soit \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0,+\infty[\). Déterminer limites/asymptotes et variations.

Voir la correction

En \(0^{+}\) : \(\ln x\to-\infty\) et \(\frac1x\to+\infty\), donc \(f\to-\infty\) : asymptote verticale \(x=0\). En \(+\infty\) (croissance comparée) : \(f\to0\) : asymptote horizontale \(y=0\). Quotient \(u=\ln x,\ v=x\) : \(f'(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}\). Signe de \(1-\ln x\) : \(>0\iff x<e\). Donc \(f\nearrow\) sur \(]0,e]\), \(f\searrow\) sur \([e,+\infty[\), maximum \(f(e)=\dfrac1e\approx0{,}37\). ∎

Inéquation · base \(<1\)

Exercice 3

Résoudre \(\log_{0{,}5}(x)>2\).

Voir la correction

Condition : \(x>0\). Base \(a=0{,}5\in\,]0,1[\) : \(\log_a\) décroissante. Or \(2=\log_{0{,}5}(0{,}5^{2})=\log_{0{,}5}(0{,}25)\). L'inéquation \(\log_{0{,}5}(x)>\log_{0{,}5}(0{,}25)\) change de sens : \(x<0{,}25\). Avec la condition : \(\boxed{S=\,]0\,;\,0{,}25[}\). Réflexe : base \(<1\) ⇒ on retourne l'inégalité.

Système · somme & produit

Exercice 4

Résoudre \(\begin{cases} x+y=5\\ \ln x+\ln y=\ln 6\end{cases}\) avec \(x>0,\ y>0\).

Voir la correction

La 2ᵉ équation donne \(\ln(xy)=\ln6\), soit \(xy=6\). Donc \(x,y\) ont pour somme \(5\) et produit \(6\) : ce sont les racines de \(t^{2}-5t+6=0\iff(t-2)(t-3)=0\). D'où \(\{x,y\}=\{2,3\}\) : les couples \((2,3)\) et \((3,2)\), tous deux \(>0\). ∎

Dérivée logarithmique · résolution base \(a\)

Exercice 5

a) Dériver \(g(x)=\ln(x^{2}+1)\). b) Résoudre \(\log_2 x=3\), \(\log_9 x=\frac12\), \(\log_{10}x=-1\).

Voir la correction

a) \(g'(x)=\dfrac{(x^{2}+1)'}{x^{2}+1}=\dfrac{2x}{x^{2}+1}\) (défini sur \(\mathbb{R}\) car \(x^{2}+1>0\)). b) \(\log_2 x=3\iff x=2^{3}=8\) ; \(\log_9 x=\frac12\iff x=9^{1/2}=3\) ; \(\log_{10}x=-1\iff x=10^{-1}=\frac1{10}\).

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce \(\ln\) est LA primitive de \(\frac1x\) qui s'annule en \(1\). Tout part de là.

Astuce Croissances comparées : la puissance l'emporte toujours sur \(\ln\) (\(\frac{\ln x}{x}\to0\), \(x\ln x\to0\)).

Astuce Reconnaître \(\frac{u'}{u}\) : c'est la dérivée de \(\ln|u|\), donc sa primitive (chapitre 6).

Astuce Base \(a\) : \(\log_a x=b\iff x=a^{b}\) ; et \(\ln(a^{r})=r\ln a\) pour tout \(r\in\mathbb{Q}\).

Piège \(\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b\) : la propriété concerne le produit.

Piège Condition d'existence d'abord : l'argument doit être strictement positif — puis confronter les solutions à la fin.

Piège Base \(<1\) : \(\log_a\) est décroissante ⇒ les inéquations changent de sens.

Piège \(\log_a\) exige \(a\neq1\) : sinon \(\ln a=0\) au dénominateur.

Formulaire à retenir

Définition \(\ln'(x)=\dfrac1x\), \(\ln1=0\), \(\ln x=\displaystyle\int_1^x\dfrac{dt}{t}\)

Propriété fondamentale \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)

Conséquences \(\ln\frac ab=\ln a-\ln b\), \(\ln\frac1b=-\ln b\)

Puissance rationnelle \(\ln(a^{r})=r\ln a\) pour tout \(r\in\mathbb{Q}\)

Racines \(\ln\sqrt a=\tfrac12\ln a\), \(\ln\sqrt[n]{a}=\tfrac1n\ln a\)

Signe \(\ln x>0\iff x>1\) ; \(\ln x<0\iff 0<x<1\)

Le nombre \(e\) \(\ln e=1\), \(e\approx2{,}718\), \(\ln(e^{n})=n\)

Limites aux bornes \(\lim_{0^{+}}\ln x=-\infty\), \(\lim_{+\infty}\ln x=+\infty\)

Nombre dérivé en \(1\) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1=\lim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}\)

Croissances comparées \(\lim_{+\infty}\dfrac{\ln x}{x^{n}}=0\), \(\lim_{0^{+}}x\ln x=0\)

Dérivée logarithmique \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\), \((\ln|u|)'=\dfrac{u'}{u}\)

Primitive \(\displaystyle\int\dfrac{u'}{u}=\ln|u|+k\)

Équations \(\ln a=\ln b\iff a=b\) ; \(\ln a<\ln b\iff a<b\)

Base \(a\) \(\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}\) (\(a>0,\ a\neq1\))

Résolution base \(a\) \(\log_a x=b\iff x=a^{b}\)

Sens de variation \(a>1\Rightarrow\nearrow\) ; \(0<a<1\Rightarrow\searrow\) (inéq. change de sens)

Log décimal \(\log x=\log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln10}\), \(\log(10^{n})=n\)