2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 10

Calcul de probabilité

1 · Résumé du cours

Dernier chapitre du programme — et l'un des plus rentables au Bac, car les questions y sont souvent guidées. Tout repose sur une discipline : bien modéliser la situation avant de calculer. Et modéliser, ici, commence par savoir compter.

1.1 Dénombrement

Principe fondamental Si une procédure se décompose en \(p\) étapes successives offrant respectivement \(n_1,n_2,\dots,n_p\) possibilités, le nombre total de résultats est \(\boxed{\,N=n_1\times n_2\times\cdots\times n_p\,}\).

Exemple Un code de trois chiffres distincts et non nuls : \(9\) choix pour le premier, \(8\) pour le deuxième, \(7\) pour le troisième, soit \(N=9\times8\times7=504\) codes.

Arrangements & permutations Soit \(E\) à \(n\) éléments, \(1\le p\le n\). Un arrangement de \(p\) éléments est un tirage successif sans remise : l'ordre compte. Leur nombre est \(\boxed{\,A_n^{p}=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\,}\). Une permutation est un arrangement des \(n\) éléments : \(\boxed{\,A_n^{n}=n!\,}\).

Combinaisons Une combinaison de \(p\) éléments parmi \(n\) est un tirage simultané (l'ordre ne compte pas). Leur nombre est \(\boxed{\,\dbinom np=C_n^{p}=\dfrac{A_n^{p}}{p!}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\,}\).

Propriétés des \(\binom np\) \(\dbinom n0=\dbinom nn=1\), \(\ \dbinom n1=n\), \(\ \dbinom np=\dbinom n{n-p}\) (symétrie), et la relation de Pascal \(\ \dbinom np+\dbinom n{p+1}=\dbinom{n+1}{p+1}\).

Pourquoi diviser par \(p!\) Un arrangement distingue l'ordre, une combinaison non. Or \(p\) objets s'ordonnent de \(p!\) façons : chaque combinaison correspond à \(p!\) arrangements. D'où \(\binom np=\frac{A_n^{p}}{p!}\).

Les trois types de tirages

Successif avec remise (ordre oui) : \(n^{p}\).
Successif sans remise (ordre oui) : \(A_n^{p}\).
Simultané (ordre non) : \(\dbinom np\).

Les deux questions — toujours Avant tout calcul : ① l'ordre compte-t-il ? ② y a-t-il remise ? Les réponses désignent la formule. Le mot « simultanément » dans un énoncé signifie toujours : combinaison.

Cardinal d'une réunion Pour \(E,F\) finis : \(\operatorname{card}(E\cup F)=\operatorname{card}(E)+\operatorname{card}(F)-\operatorname{card}(E\cap F)\) ; si \(E\cap F=\varnothing\), la somme se réduit à \(\operatorname{card}(E)+\operatorname{card}(F)\).

1.2 Calcul de probabilités

Univers & événements Une expérience aléatoire a des résultats connus mais imprévisibles. L'ensemble des résultats possibles est l'univers \(\Omega\) ; un événement est une partie de \(\Omega\). Vocabulaire : \(\varnothing\) impossible, \(\Omega\) certain ; \(A\cap B\) (« \(A\) et \(B\) »), \(A\cup B\) (« \(A\) ou \(B\) ») ; \(A,B\) incompatibles si \(A\cap B=\varnothing\) ; \(\overline A\) contraire (\(A\cap\overline A=\varnothing\), \(A\cup\overline A=\Omega\)).

Équiprobabilité Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité : \(\boxed{\,P(A)=\dfrac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}=\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\,}\).

Propriétés de \(P\) \(0\le P(A)\le1\), \(\ P(\Omega)=1\), \(\ P(\varnothing)=0\), et surtout \(\boxed{\,P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\,}\), \(\boxed{\,P(\overline A)=1-P(A)\,}\).

Le réflexe « au moins un » Dès qu'un énoncé demande « au moins un… », passez par le contraire : le contraire de « au moins un » est « aucun », presque toujours bien plus simple à compter.

1.3 Probabilité conditionnelle

Définition Pour \(A,B\) avec \(P(A)\neq0\), la probabilité de \(B\) sachant \(A\) est \(\boxed{\,P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\,}\).

Probabilité d'une intersection \(\boxed{\,P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=P(B)\times P_B(A)\,}\). En équiprobabilité, \(P_A(B)=\dfrac{\operatorname{card}(A\cap B)}{\operatorname{card}(A)}\).

Ce que « sachant \(A\) » veut dire On change d'univers : \(A\) devient le nouvel ensemble de référence. Au lieu de compter sur \(\Omega\), on compte sur \(A\) — d'où la division par \(P(A)\).

Formule des probabilités totales Si \(A_1,\dots,A_n\) forment une partition de \(\Omega\) (deux à deux incompatibles, de réunion \(\Omega\), de probabilités non nulles), alors pour tout \(B\) : \(\boxed{\,P(B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\,P_{A_i}(B)\,}\). En particulier avec \(\{A,\overline A\}\) : \(P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B)\).

L'arbre pondéré. On multiplie les probabilités le long d'un chemin, et l'on additionne les chemins menant au même événement. La somme des branches issues d'un même nœud vaut toujours \(1\).

L'arbre est votre meilleur allié Presque tout exercice de probabilité conditionnelle se résout par un arbre pondéré. Deux règles : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins menant au même résultat. Vérification : la somme des branches partant d'un nœud vaut \(1\).

Formule de Bayes (probabilité des causes) Pour une partition \(\{A_1,\dots,A_n\}\) et \(B\) de probabilité non nulle : \(\boxed{\,P_B(A_j)=\dfrac{P(A_j)\,P_{A_j}(B)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\,P_{A_i}(B)}=\dfrac{P(A_j)\,P_{A_j}(B)}{P(B)}\,}\).

Remonter le temps Les probabilités totales descendent l'arbre (des causes \(A_i\) vers l'effet \(B\)) ; Bayes le remonte : connaissant l'effet \(B\), quelle en est la cause probable \(A_j\) ? Le numérateur est le chemin passant par \(A_j\), le dénominateur la somme de tous les chemins menant à \(B\).

1.4 Indépendance

Événements indépendants \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(\boxed{\,P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\,}\). De façon équivalente (si \(P(A)\neq0\)) : \(P_A(B)=P(B)\) — savoir que \(A\) s'est produit ne change rien à \(B\).

Indépendants \(\neq\) incompatibles C'est l'erreur du chapitre. Incompatibles : \(A\cap B=\varnothing\) (ils ne peuvent pas se produire ensemble). Indépendants : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont d'ailleurs toujours dépendants : si \(A\) se produit, on est certain que \(B\) ne se produit pas !

Stabilité par passage au contraire Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(\overline A\) et \(B\), \(A\) et \(\overline B\), \(\overline A\) et \(\overline B\) le sont aussi.

1.5 Variables aléatoires

Variable aléatoire & loi Une variable aléatoire \(X\) associe un réel à chaque issue de \(\Omega\). Sa loi de probabilité est la donnée des valeurs \(x_i\) prises par \(X\) et des \(p_i=P(X=x_i)\). Vérification indispensable : \(\displaystyle\sum_i p_i=1\).

Espérance, variance, écart type \(\boxed{\,E(X)=\displaystyle\sum_i x_i\,p_i\,}\), \(\ V(X)=\displaystyle\sum_i\big(x_i-E(X)\big)^{2}p_i=\underbrace{\sum_i x_i^{2}p_i-\big(E(X)\big)^{2}}_{\text{formule de Kœnig}}\), \(\ \sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).

Ce que chacun signifie \(E(X)\) est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions — pas forcément une valeur possible de \(X\) ! L'écart type \(\sigma(X)\) mesure la dispersion autour de cette moyenne. La formule de Kœnig est presque toujours la plus rapide pour \(V(X)\).

Fonction de répartition C'est \(F_X:\mathbb{R}\to[0,1]\), \(\boxed{\,F_X(x)=P(X\le x)\,}\). Si \(X\) prend les valeurs \(x_1<x_2<\dots<x_n\) : \(F_X\) est croissante, vaut \(0\) pour \(x<x_1\) et \(1\) pour \(x\ge x_n\), et est constante par morceaux (« en escalier ») : elle fait un saut de hauteur \(p_i=P(X=x_i)\) en chaque \(x_i\).

Construire \(F_X\) & exemple On cumule les probabilités de gauche à droite : sur \([x_i,x_{i+1}[\), \(F_X(x)=p_1+\dots+p_i\). Ex. avec \(P(X=1)=0{,}2\), \(P(X=2)=0{,}5\), \(P(X=3)=0{,}3\) : \[F_X(x)=\begin{cases}0 & \text{si } x<1,\\ 0{,}2 & \text{si } 1\le x<2,\\ 0{,}7 & \text{si } 2\le x<3,\\ 1 & \text{si } x\ge3.\end{cases}\] Les hauteurs des sauts (\(0{,}2\ ;0{,}5\ ;0{,}3\)) redonnent la loi : connaître \(F_X\) équivaut à connaître la loi.

1.6 La loi binomiale

Épreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès (probabilité \(p\)) et échec (probabilité \(1-p\)).

Loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\) On répète \(n\) fois une épreuve de Bernoulli de façon identique et indépendante ; \(X\) = nombre de succès. Alors \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\), et pour \(k\in\{0,\dots,n\}\) : \(\boxed{\,P(X=k)=\dbinom nk\,p^{k}(1-p)^{n-k}\,}\). De plus \(\boxed{\,E(X)=np\,}\), \(\ V(X)=np(1-p)\), \(\ \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\).

D'où vient la formule Un chemin précis à \(k\) succès et \(n-k\) échecs a pour probabilité \(p^{k}(1-p)^{n-k}\) (on multiplie le long du chemin, grâce à l'indépendance). Or il y a \(\binom nk\) façons de placer les \(k\) succès parmi les \(n\) répétitions — d'où le coefficient. C'est encore l'arbre.

Les 3 conditions — à citer dans la copie Avant d'écrire « \(X\) suit une loi binomiale », vérifiez et écrivez que les répétitions sont ① identiques (même \(p\)), ② indépendantes, ③ à deux issues. Ces trois lignes font partie du barème. Attention : un tirage sans remise brise l'indépendance — ce n'est alors pas une loi binomiale.

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Dénombrer

Ordre ? Remise ? → \(n^{p}\), \(A_n^{p}\) ou \(\binom np\).

Probabilité d'un événement

Équiprobabilité \(\frac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}\) ; contraire pour « au moins un ».

Conditionnelle & arbre

\(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\) ; multiplier / additionner.

Totales & Bayes

Descendre l'arbre (totales), le remonter (Bayes).

Indépendance

\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) ; ne pas confondre avec incompatibles.

Variable aléatoire

Loi (\(\sum p_i=1\)), \(E(X)\), \(V(X)\), \(\sigma\), \(F_X\).

Loi binomiale

3 conditions ; \(P(X=k)=\binom nk p^{k}(1-p)^{n-k}\) ; \(E=np\).

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Dénombrement · réflexe du contraire

Exercice 1

Une urne contient \(5\) boules rouges et \(3\) boules vertes, indiscernables au toucher. On tire simultanément \(2\) boules. Calculer la probabilité d'obtenir : a) deux rouges ; b) au moins une verte.

Voir la correction

Tirage simultané : l'ordre ne compte pas, ce sont des combinaisons. \(\operatorname{card}(\Omega)=\binom82=\frac{8\times7}{2}=28\).

a) \(R\) : « deux rouges ». \(\operatorname{card}(R)=\binom52=\frac{5\times4}{2}=10\), donc \(P(R)=\frac{10}{28}=\boxed{\frac{5}{14}}\approx0{,}357\).

b) \(V\) : « au moins une verte ». Réflexe du contraire : \(\overline V\) = « aucune verte » = « deux rouges » = \(R\), déjà calculé ! Donc \(P(V)=1-P(R)=1-\frac{5}{14}=\boxed{\frac{9}{14}}\approx0{,}643\). ∎

Probabilités totales · Bayes

Exercice 2

Une usine a deux machines. \(M_1\) produit \(60\,\%\) des pièces, dont \(5\,\%\) défectueuses ; \(M_2\) produit le reste, dont \(8\,\%\) défectueuses. On prélève une pièce au hasard. a) Probabilité qu'elle soit défectueuse ? b) Elle est défectueuse : probabilité qu'elle vienne de \(M_1\) ?

Voir la correction

Données : \(P(M_1)=0{,}6\), \(P(M_2)=0{,}4\), \(P_{M_1}(D)=0{,}05\), \(P_{M_2}(D)=0{,}08\).

a) \(\{M_1,M_2\}\) est une partition : probabilités totales (on additionne les deux chemins vers \(D\)) : \[P(D)=P(M_1)P_{M_1}(D)+P(M_2)P_{M_2}(D)=0{,}6\times0{,}05+0{,}4\times0{,}08=0{,}03+0{,}032=\boxed{0{,}062}.\]

b) On renverse le conditionnement (Bayes) : \[P_D(M_1)=\frac{P(M_1\cap D)}{P(D)}=\frac{0{,}03}{0{,}062}\approx\boxed{0{,}484}.\] À remarquer : \(P_{M_1}(D)=0{,}05\) mais \(P_D(M_1)\approx0{,}48\) — ces deux nombres n'ont rien à voir, les confondre est une erreur classique. ∎

Loi binomiale

Exercice 3

On lance \(4\) fois une pièce équilibrée. Soit \(X\) le nombre de « pile ». a) Justifier que \(X\) suit une loi binomiale. b) Calculer \(P(X=2)\), puis \(P(X\ge1)\). c) Donner \(E(X)\).

Voir la correction

a) Les \(4\) lancers sont identiques (même pièce, \(p=0{,}5\)), indépendants (un lancer n'influence pas le suivant), à deux issues (pile = succès, face = échec). Donc \(X\sim\mathcal{B}(4\,;0{,}5)\).

b) \(P(X=2)=\binom42\times0{,}5^{2}\times0{,}5^{2}=6\times0{,}0625=\boxed{0{,}375}\). Pour \(P(X\ge1)\), contraire : \[P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\binom40\,0{,}5^{0}\,0{,}5^{4}=1-\tfrac1{16}=\boxed{\tfrac{15}{16}=0{,}9375}.\]

c) \(E(X)=np=4\times0{,}5=\boxed{2}\) : on attend \(2\) piles en moyenne — cohérent avec l'intuition. ∎

Variable aléatoire · loi & espérance

Exercice 4

Une urne contient \(4\) jetons numérotés \(1,2,2,3\). On tire un jeton au hasard et \(X\) désigne le numéro obtenu. Donner la loi de \(X\), puis calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).

Voir la correction

Loi : \(X\) prend les valeurs \(1,2,3\) avec \(P(X=1)=\frac14\), \(P(X=2)=\frac24=\frac12\), \(P(X=3)=\frac14\). Vérification : \(\frac14+\frac12+\frac14=1\) ✓.

Espérance : \(E(X)=1\times\frac14+2\times\frac12+3\times\frac14=\frac14+1+\frac34=\boxed{2}\).

Variance (Kœnig) : \(E(X^{2})=1\times\frac14+4\times\frac12+9\times\frac14=\frac14+2+\frac94=\frac{18}{4}=\frac92\). Donc \(V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}=\frac92-4=\boxed{\frac12}\), et \(\sigma(X)=\frac{1}{\sqrt2}\approx0{,}71\). ∎

Indépendance

Exercice 5

On lance un dé équilibré à six faces. Soit \(A\) : « le résultat est pair » et \(B\) : « le résultat est un multiple de \(3\) ». Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

Voir la correction

\(A=\{2,4,6\}\) donc \(P(A)=\frac36=\frac12\) ; \(B=\{3,6\}\) donc \(P(B)=\frac26=\frac13\). Puis \(A\cap B=\{6\}\), soit \(P(A\cap B)=\frac16\).

On compare : \(P(A)\times P(B)=\frac12\times\frac13=\frac16=P(A\cap B)\). La condition \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) est vérifiée, donc \(A\) et \(B\) sont indépendants. (Ils ne sont pas incompatibles : \(A\cap B=\{6\}\neq\varnothing\).) ∎

Fonction de répartition

Exercice 6

La loi de \(X\) est \(P(X=0)=0{,}5\), \(P(X=1)=0{,}3\), \(P(X=2)=0{,}2\). Donner la fonction de répartition \(F_X\), puis retrouver \(P(X=1)\) à partir de \(F_X\).

Voir la correction

On cumule de gauche à droite : \[F_X(x)=\begin{cases}0 & \text{si } x<0,\\ 0{,}5 & \text{si } 0\le x<1,\\ 0{,}8 & \text{si } 1\le x<2,\\ 1 & \text{si } x\ge2.\end{cases}\] Le dernier palier vaut \(1\) : \(0{,}5+0{,}3+0{,}2=1\) ✓. La hauteur du saut en \(x=1\) redonne la loi : \(P(X=1)=F_X(1)-F_X(1^-)=0{,}8-0{,}5=\boxed{0{,}3}\). ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Avant tout calcul : l'ordre compte-t-il ? y a-t-il remise ? — les réponses donnent la formule.

Astuce Le mot « simultanément » ⇒ combinaisons \(\binom np\).

Astuce « Au moins un » ⇒ passer à l'événement contraire (« aucun »).

Astuce Probabilité conditionnelle ⇒ arbre pondéré : multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins.

Astuce Kœnig \(V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}\) : presque toujours plus rapide.

Astuce Loi binomiale : citer les 3 conditions (identiques, indépendantes, deux issues) — c'est au barème.

Piège Indépendants \(\neq\) incompatibles — c'est presque le contraire : deux incompatibles de proba non nulle sont dépendants.

Piège \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\) sont différents : ne pas renverser le conditionnement à la légère (c'est le rôle de Bayes).

Piège Un tirage sans remise brise l'indépendance : ce n'est pas une loi binomiale.

Piège Ne pas oublier de vérifier \(\sum_i p_i=1\) avant d'exploiter une loi.

Formulaire à retenir

Principe fondamental \(N=n_1\times n_2\times\cdots\times n_p\) (procédure en \(p\) étapes)

Arrangements \(A_n^{p}=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) (ordre, sans remise)

Permutations \(A_n^{n}=n!\)

Combinaisons \(\dbinom np=\dfrac{A_n^{p}}{p!}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\) (simultané, sans ordre)

Propriétés \(\binom np\) \(\dbinom n0=\dbinom nn=1\), \(\dbinom np=\dbinom n{n-p}\), Pascal \(\dbinom np+\dbinom n{p+1}=\dbinom{n+1}{p+1}\)

Types de tirages avec remise \(n^{p}\) ; sans remise \(A_n^{p}\) ; simultané \(\dbinom np\)

Cardinal \(\operatorname{card}(E\cup F)=\operatorname{card}E+\operatorname{card}F-\operatorname{card}(E\cap F)\)

Équiprobabilité \(P(A)=\dfrac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}=\dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}\)

Bornes \(0\le P(A)\le1\), \(P(\Omega)=1\), \(P(\varnothing)=0\)

Réunion & contraire \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) ; \(P(\overline A)=1-P(A)\)

Conditionnelle \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) (\(P(A)\neq0\))

Intersection \(P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)=P(B)\,P_B(A)\)

Probabilités totales partition \(\{A_i\}\) : \(P(B)=\sum_i P(A_i)\,P_{A_i}(B)\)

Bayes \(P_B(A_j)=\dfrac{P(A_j)\,P_{A_j}(B)}{\sum_i P(A_i)\,P_{A_i}(B)}=\dfrac{P(A_j)\,P_{A_j}(B)}{P(B)}\)

Indépendance \(P(A\cap B)=P(A)\,P(B)\iff P_A(B)=P(B)\)

Loi de \(X\) \(p_i=P(X=x_i)\), \(\sum_i p_i=1\)

Espérance \(E(X)=\sum_i x_i\,p_i\)

Variance (Kœnig) \(V(X)=\sum_i x_i^{2}p_i-\big(E(X)\big)^{2}\) ; \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)

Fonction de répartition \(F_X(x)=P(X\le x)\), croissante en escalier, sauts \(=p_i\)

Loi binomiale \(X\sim\mathcal{B}(n\,;p)\) : \(P(X=k)=\dbinom nk p^{k}(1-p)^{n-k}\)

Binomiale — moments \(E(X)=np\), \(V(X)=np(1-p)\), \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\)

3 conditions binomiale répétitions identiques · indépendantes · à deux issues