2ᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 2

Limite d'une suite numérique

1 · Résumé du cours

Une suite n'est qu'une fonction dont la variable est un entier : tout le chapitre des limites s'applique encore. Ce qui change, c'est la façon de raisonner — on ne calcule pas toujours la limite, on la prouve par comparaison ou par monotonie, souvent par récurrence.

1.1 Qu'est-ce qu'une suite ?

Définition Une suite numérique \((u_n)\) associe à tout entier \(n\) un réel \(u_n\). Elle peut être définie :

explicitement : \(u_n=f(n)\) — on calcule \(u_n\) directement ;
par récurrence : \(u_0\) donné et \(u_{n+1}=f(u_n)\) — il faut connaître \(u_n\) pour obtenir \(u_{n+1}\).

1.2 Les deux suites de référence

Arithmétique & géométrique

Arithmétique de raison \(r\) : \(u_{n+1}=u_n+r\), d'où \(u_n=u_0+nr=u_p+(n-p)r\).
Géométrique de raison \(q\) : \(u_{n+1}=q\,u_n\), d'où \(u_n=u_0\,q^{\,n}=u_p\,q^{\,n-p}\).

1.3 Sommes de termes consécutifs

Formules Pour une somme de \(u_p\) à \(u_n\) (soit \(n-p+1\) termes) : \[\text{arithmétique :}\quad \sum_{k=p}^{n}u_k=(n-p+1)\,\frac{u_p+u_n}{2}=(\text{nb termes})\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}.\] \[\text{géométrique }(q\neq1):\quad \sum_{k=p}^{n}u_k=u_p\,\frac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}=(\text{premier})\times\frac{1-q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}.\] En particulier \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\) et \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^{k}=\frac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\).

Compter les termes Le piège classique : le nombre de termes de \(u_p+\dots+u_n\) est \(n-p+1\) (et non \(n-p\)). Une fois ce compte fait : « nombre de termes \(\times\) moyenne des extrêmes » (arithmétique), « premier \(\times\frac{1-q^{\text{nb}}}{1-q}\) » (géométrique).

1.4 Monotonie & suites bornées

Définitions

Croissante si \(u_{n+1}\ge u_n\) pour tout \(n\) ; décroissante si \(u_{n+1}\le u_n\).
Majorée s'il existe \(M\) tel que \(u_n\le M\) ; minorée s'il existe \(m\) tel que \(u_n\ge m\).
Bornée si elle est majorée et minorée.

Étudier la monotonie Trois techniques selon la forme de \(u_n\) : ① signe de \(u_{n+1}-u_n\) (la plus courante) ; ② si \(u_n>0\), comparer le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) ; ③ si \(u_n=f(n)\), étudier les variations de \(f\) sur \([0,+\infty[\).

1.5 Suite convergente, suite divergente

Définitions intuitives

\((u_n)\) converge vers \(\ell\) si \(u_n\) devient aussi proche que l'on veut de \(\ell\) dès que \(n\) est assez grand : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\).
\((u_n)\) diverge vers \(+\infty\) si \(u_n\) dépasse tout réel dès que \(n\) est assez grand.

Divergente ne veut pas dire « infinie » Une suite est divergente dès qu'elle ne converge pas. Deux cas très différents : elle tend vers \(\pm\infty\) (ex. \(u_n=n^{2}\)) ; ou elle n'a aucune limite — \(u_n=(-1)^{n}\) oscille entre \(-1\) et \(1\) sans se stabiliser, tout en étant bornée. Retenez : bornée n'implique pas convergente.

1.6 La définition formelle : le langage des « \(\varepsilon\) »

Limite finie, version rigoureuse \[\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\iff \big(\forall\varepsilon>0\big)\,\big(\exists N\in\mathbb{N}\big)\,\big(\forall n\in\mathbb{N}\big)\quad n\ge N\ \Longrightarrow\ |u_n-\ell|<\varepsilon.\] Quelle que soit la bande \(]\ell-\varepsilon,\ \ell+\varepsilon[\) choisie autour de \(\ell\), tous les termes y entrent à partir d'un certain rang \(N\) — et n'en ressortent plus.

Limite infinie \[\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\iff \big(\forall B>0\big)\,\big(\exists N\in\mathbb{N}\big)\,\big(\forall n\in\mathbb{N}\big)\quad n\ge N\ \Longrightarrow\ u_n>B.\]

Le rang \(N\) dépend de \(\varepsilon\) L'ordre des quantificateurs est tout : \(\varepsilon\) est donné d'abord, \(N\) construit ensuite en fonction de \(\varepsilon\). Méthode : on résout l'inéquation \(|u_n-\ell|<\varepsilon\) d'inconnue \(n\), et on prend \(N=\big\lfloor\text{valeur}\big\rfloor+1\).

1.7 Unicité de la limite

Propriété Si une suite converge, sa limite est unique. De plus, toute suite convergente est bornée (la réciproque étant fausse).

1.8 Limites usuelles & formes indéterminées

Limites usuelles \[\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0,\quad \lim_{n\to+\infty}\frac1{n^{2}}=0,\quad \lim_{n\to+\infty}\frac1{\sqrt n}=0,\] \[\lim_{n\to+\infty}n=+\infty,\quad \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty,\quad \lim_{n\to+\infty}n^{k}=+\infty\ (k>0).\]

Les F.I. : rien de nouveau Les opérations sur les limites de suites sont exactement celles des fonctions, et les quatre F.I. sont les mêmes : \(\frac{\infty}{\infty},\ \frac00,\ \infty-\infty,\ 0\times\infty\). Les méthodes du chapitre 1 s'appliquent telles quelles : factoriser par le terme dominant, quantité conjuguée.

1.9 Critères de convergence

Le cœur du chapitre : ces théorèmes permettent de prouver qu'une limite existe, même sans savoir la calculer.

Théorème des gendarmes Si, à partir d'un certain rang, \(u_n\le v_n\le w_n\) et \(\displaystyle\lim u_n=\lim w_n=\ell\), alors \((v_n)\) converge et \(\displaystyle\lim v_n=\ell\).
Déclencheur : un \(\sin n\) ou \(\cos n\) ? On ne sait pas le calculer, mais \(-1\le\sin n\le1\) — point de départ de l'encadrement.

Divergence par comparaison À partir d'un certain rang : si \(u_n\ge v_n\) et \(\lim v_n=+\infty\), alors \(\lim u_n=+\infty\) ; si \(u_n\le v_n\) et \(\lim v_n=-\infty\), alors \(\lim u_n=-\infty\). « Plus grand que l'infini \(\Rightarrow\) infini. »

Convergence monotone Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).

Ce que le théorème ne dit PAS Il prouve que la limite existe, mais ne la donne pas. Et \(\ell\) n'est pas forcément égale au majorant \(M\) : on sait seulement \(\ell\le M\).

1.10 Suites adjacentes

Définition \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0\).

Théorème Deux suites adjacentes (\((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante) convergent vers la même limite \(\ell\), et pour tout \(n\) : \(u_n\le\ell\le v_n\). Cet encadrement est d'autant plus fin que \(n\) est grand — la méthode reine pour approcher un réel qu'on ne sait pas calculer.

1.11 Les suites particulières

Suites \(u_n=f(n)\) Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(n)=L\). La réciproque est fausse : \(f(x)=\sin(2\pi x)\) donne \(f(n)=0\) pour tout entier alors que \(f\) n'a pas de limite.

Suites géométriques \(q^{\,n}\) \[\lim_{n\to+\infty}q^{\,n}=\begin{cases}0 & \text{si } |q|<1,\\ 1 & \text{si } q=1,\\ +\infty & \text{si } q>1,\\ \text{pas de limite} & \text{si } q\le-1.\end{cases}\] C'est \(|q|\) qui décide de la convergence vers \(0\) ; le signe ne fait qu'alterner les termes.

Suites \(v_n=f(u_n)\) & récurrentes Si \(\lim u_n=a\) et \(f\) continue en \(a\), alors \(\lim f(u_n)=f(a)\). Conséquence : si \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\) et \(f\) continue en \(\ell\), alors \(\ell\) est un point fixe : \(\boxed{\ell=f(\ell)}\).

L'erreur qui coûte tous les points Ce théorème suppose que la suite converge déjà. Résoudre \(\ell=f(\ell)\) sans avoir prouvé la convergence donne un candidat, pas une limite. Ordre imposé : ① prouver la convergence (monotone + bornée, par récurrence) ; ② résoudre \(\ell=f(\ell)\) et écarter les solutions incompatibles.

Lecture graphique d'une suite récurrente : on rebondit entre \((C_f)\) et la droite \(y=x\). L'escalier converge vers le point fixe \(\ell\).

1.12 Suites arithmético-géométriques

Définition \((u_n)\) est arithmético-géométrique s'il existe \(a\neq1\) et \(b\) tels que \(u_{n+1}=a\,u_n+b\) pour tout \(n\).

La ramener à une suite géométrique (point fixe) ① Point fixe : \(\ell=a\,\ell+b\), soit \(\ell=\frac{b}{1-a}\). ② Poser \(v_n=u_n-\ell\) : alors \(v_{n+1}=a\,v_n\), donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\). ③ D'où \(\boxed{u_n=\ell+(u_0-\ell)\,a^{n}}\). ④ Si \(|a|<1\), alors \(a^{n}\to0\) et \(u_n\to\ell\).

1.13 Méthode de contraction (approche SM)

Inégalité de contraction Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) stable par \(f\), contenant le point fixe \(\ell\). S'il existe \(k\) avec \(0\le k<1\) tel que \(|f'(x)|\le k\) sur \(I\), alors pour \(u_{n+1}=f(u_n)\) à valeurs dans \(I\) : \[|u_{n+1}-\ell|\le k\,|u_n-\ell|\qquad\text{d'où}\qquad |u_n-\ell|\le k^{\,n}\,|u_0-\ell|.\] Comme \(0\le k<1\), \(k^{n}\to0\), donc \((u_n)\) converge vers \(\ell\).

D'où vient l'inégalité On écrit \(u_{n+1}-\ell=f(u_n)-f(\ell)\), puis on applique l'inégalité des accroissements finis : \(|f(u_n)-f(\ell)|\le k\,|u_n-\ell|\). L'erreur est divisée par au moins \(\frac1k\) à chaque rang : convergence géométrique, très rapide.

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Suites de référence & sommes

Arithmétique / géométrique, formules de somme, compter les termes.

Monotonie & bornes

Signe de \(u_{n+1}-u_n\), quotient, variations de \(f\).

Limites & définition « \(\varepsilon\) »

Limites usuelles, F.I. (chapitre 1), démonstration avec le rang \(N\).

Critères de convergence

Gendarmes, comparaison, convergence monotone, suites adjacentes.

Suites particulières

\(q^{n}\), \(f(n)\), récurrentes & point fixe.

Arithmético-géo & contraction

\(v_n=u_n-\ell\), inégalité \(|f'|\le k<1\).

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Limites · terme dominant & \(q^n\)

Exercice 1

Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{2}-n}{2n^{2}+1}\), puis \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\Big(\frac13\Big)^{n}\).

Voir la correction

a) Forme \(\frac{\infty}{\infty}\), on factorise par \(n^{2}\) : \(\dfrac{n^{2}(1-\frac1n)}{n^{2}(2+\frac1{n^{2}})}=\dfrac{1-\frac1n}{2+\frac1{n^{2}}}\to\dfrac12\). b) Géométrique de raison \(\frac13\), \(|\frac13|<1\) donc \(\to0\).

Gendarmes · un sinus

Exercice 2

Soit \(u_n=\dfrac{\sin n}{n}\) (\(n\ge1\)). Montrer que \((u_n)\) converge et donner sa limite.

Voir la correction

On encadre : \(-1\le\sin n\le1\). Comme \(n>0\), \(-\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n\). Les deux gendarmes tendent vers \(0\) ⇒ (encadrement) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}=0\). ∎

Définition « \(\varepsilon\) »

Exercice 3

Montrer, avec la définition, que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2\).

Voir la correction

Soit \(\varepsilon>0\). Pour \(n\ge1\), \(\big|\frac{2n+1}{n}-2\big|=\frac1n\). Or \(\frac1n<\varepsilon\iff n>\frac1\varepsilon\) : on pose \(N=\lfloor\frac1\varepsilon\rfloor+1\). Pour tout \(n\ge N\), \(\big|\frac{2n+1}{n}-2\big|<\varepsilon\). ∎

Suite récurrente · récurrence + point fixe

Exercice 4

\((u_n)\) : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\). Montrer que \(0\le u_n\le2\), que \((u_n)\) est croissante, puis calculer sa limite.

Voir la correction

Bornée : \(u_0=1\in[0;2]\). Si \(0\le u_n\le2\) alors \(2\le u_n+2\le4\), et par croissance de la racine \(\sqrt2\le u_{n+1}\le2\) ⇒ \(0\le u_{n+1}\le2\). Croissante : \(u_{n+1}^{2}-u_n^{2}=-(u_n-2)(u_n+1)\ge0\) car \((u_n-2)\le0\) et \((u_n+1)>0\) ; termes positifs ⇒ \(u_{n+1}\ge u_n\). Limite : croissante majorée ⇒ converge vers \(\ell\) ; \(f(x)=\sqrt{x+2}\) continue ⇒ \(\ell=\sqrt{\ell+2}\Rightarrow\ell^{2}-\ell-2=0\Rightarrow(\ell-2)(\ell+1)=0\). Comme \(\ell\ge0\), on écarte \(-1\) : \(\lim u_n=2\). ∎

Arithmético-géométrique

Exercice 5

\(u_0=5\), \(u_{n+1}=\frac12u_n+3\). Exprimer \(u_n\) et calculer sa limite.

Voir la correction

Point fixe : \(\ell=\frac12\ell+3\Rightarrow\ell=6\). Posons \(v_n=u_n-6\) : \(v_{n+1}=\frac12v_n\), \(v_0=-1\), donc \(v_n=-\big(\frac12\big)^{n}\). Ainsi \(u_n=6-\big(\frac12\big)^{n}\to6\) car \(|\frac12|<1\).

Divergence · raisonnement par l'absurde

Exercice 6

Montrer que \(u_n=(-1)^{n}\) n'a pas de limite.

Voir la correction

Supposons \(u_n\to\ell\) et prenons \(\varepsilon=1\) : il existe \(N\) tel que \(|u_n-\ell|<1\) pour \(n\ge N\). Avec \(n\) pair puis impair : \(|1-\ell|<1\) et \(|-1-\ell|<1\). L'inégalité triangulaire donne \(2=|1-(-1)|\le|1-\ell|+|\ell+1|<2\), soit \(2<2\) : absurde. Donc \((u_n)\) diverge. ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Les F.I. et leurs méthodes sont celles du chapitre 1 : factoriser le terme dominant.

Astuce Un \(\sin n\) ou \(\cos n\) ? \(\Rightarrow\) gendarmes (\(-1\le\sin n\le1\)).

Astuce Pour \(q^{n}\), c'est \(|q|\) qui décide : \(|q|<1\Rightarrow0\).

Astuce Somme : arithmétique \(=\) nb termes \(\times\) moyenne des extrêmes ; géométrique \(=u_p\frac{1-q^{\text{nb}}}{1-q}\).

Astuce Arithmético-géo : point fixe \(\ell=\frac{b}{1-a}\), puis \(v_n=u_n-\ell\) est géométrique de raison \(a\).

Piège Bornée \(\neq\) convergente : \((-1)^{n}\) le prouve.

Piège Monotone + bornée \(\Rightarrow\) convergente : le théorème prouve l'existence, pas la valeur (\(\ell\le M\), pas \(\ell=M\)).

Piège Suite récurrente : prouver la convergence d'abord, résoudre \(\ell=f(\ell)\) ensuite, et écarter les solutions impossibles.

Piège Nombre de termes : de \(u_p\) à \(u_n\) il y en a \(n-p+1\), pas \(n-p\).

Formulaire à retenir

Arithmétique \(u_n=u_0+nr=u_p+(n-p)r\)

Géométrique \(u_n=u_0\,q^{\,n}=u_p\,q^{\,n-p}\)

Somme arithmétique \(\displaystyle\sum_{k=p}^{n}u_k=(n-p+1)\dfrac{u_p+u_n}{2}\)

Somme géométrique \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^{k}=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\ (q\neq1)\)

Définition « \(\varepsilon\) » \(\lim u_n=\ell\iff \forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ n\ge N\Rightarrow|u_n-\ell|<\varepsilon\)

Limites usuelles \(\dfrac1n,\ \dfrac1{n^{2}},\ \dfrac1{\sqrt n}\to0\) ; \(n,\ \sqrt n,\ n^{k}\to+\infty\)

Gendarmes \(u_n\le v_n\le w_n,\ \lim u_n=\lim w_n=\ell\Rightarrow\lim v_n=\ell\)

Convergence monotone croissante + majorée \(\Rightarrow\) convergente

Suites adjacentes \(\nearrow\), \(\searrow\), \(v_n-u_n\to0\Rightarrow\) même limite, \(u_n\le\ell\le v_n\)

Suite géométrique \(q^{n}\) \(\to0\) si \(|q|<1\) ; \(\to+\infty\) si \(q>1\) ; div. si \(q\le-1\)

Point fixe \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge, \(f\) continue \(\Rightarrow\ell=f(\ell)\)

Arithmético-géo \(\ell=\dfrac{b}{1-a}\), \(u_n=\ell+(u_0-\ell)a^{n}\)

Contraction \(|f'|\le k<1\Rightarrow|u_n-\ell|\le k^{n}|u_0-\ell|\)