2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 9

Calcul intégral

1 · Résumé du cours

1.1 Définition & lien avec les primitives

Intégrale Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(F\) une primitive de \(f\), alors : \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_{a}^{b}=F(b)-F(a).\]

1.2 Propriétés

Règles de calcul

Linéarité : \(\displaystyle\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g\).
Relation de Chasles : \(\displaystyle\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f\).
Inversion : \(\displaystyle\int_a^b f=-\int_b^a f\), et \(\displaystyle\int_a^a f=0\).
Positivité : si \(f\ge0\) sur \([a;b]\) (\(a\le b\)), alors \(\displaystyle\int_a^b f\ge0\).

1.3 Intégration par parties

IPP Pour \(u,v\) de classe \(C^{1}\) : \[\int_{a}^{b} u(x)\,v'(x)\,dx=\big[u(x)v(x)\big]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u'(x)\,v(x)\,dx.\] Utile pour \(\int x e^{x}\), \(\int x\ln x\), \(\int x\cos x\)…

1.4 Applications : aire & valeur moyenne

Aire Si \(f\ge0\) sur \([a;b]\), l'aire sous \((C_f)\) vaut \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) (en unités d'aire). Entre deux courbes \(f\ge g\) : \(\displaystyle\int_a^b\big(f-g\big)\).
Valeur moyenne : \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\).

L'aire du domaine hachuré, sous \((C_f)\) entre \(x=a\) et \(x=b\), vaut \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) (lorsque \(f\ge0\)).

2 · Feuille de route

Primitive → intégrale

\(F(b)-F(a)\).

Propriétés

Linéarité, Chasles, positivité.

Intégration par parties

Choisir \(u\) et \(v'\) intelligemment.

Aires & valeur moyenne

Entre courbes, sous une courbe.

3 · Exercices choisis

Calcul direct

Exercice 1

Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1}\big(3x^{2}-2x+1\big)\,dx\).

Voir la correction

\(\big[x^{3}-x^{2}+x\big]_{0}^{1}=1-1+1=1\).

Forme composée

Exercice 2

Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx\).

Voir la correction

C'est \(\frac{u'}{u}\) avec \(u=x^{2}+1\) : \(\big[\ln(x^{2}+1)\big]_{0}^{1}=\ln2\).

Intégration par parties

Exercice 3

Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1} x\,e^{x}\,dx\).

Voir la correction

\(u=x,\ v'=e^{x}\Rightarrow u'=1,\ v=e^{x}\). \(\big[xe^{x}\big]_0^1-\int_0^1 e^{x}=e-(e-1)=1\).

Aire

Exercice 4

Calculer l'aire du domaine compris entre \((C_f)\), \(f(x)=x^{2}\), et \((C_g)\), \(g(x)=x\), sur \([0;1]\).

Voir la correction

Sur \([0;1]\), \(x\ge x^{2}\). Aire \(=\displaystyle\int_0^1(x-x^{2})\,dx=\big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\big]_0^1=\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16\).

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Cherche d'abord une forme composée (\(u'u^n\), \(\frac{u'}{u}\), \(u'e^{u}\)) avant de te lancer dans une IPP.

Astuce Pour une aire entre deux courbes, intègre \((\text{courbe du haut}-\text{courbe du bas})\).

Piège \(\displaystyle\int_a^b f\) peut être négative si \(f<0\) : ce n'est une aire que si \(f\ge0\).

Piège En IPP, un mauvais choix de \(u\) et \(v'\) complique l'intégrale : choisis \(u\) qui se simplifie en dérivant.

Formulaire à retenir

Intégrale \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a)\)

Chasles \(\displaystyle\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f\)

Par parties \(\displaystyle\int_a^b uv'=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b u'v\)

Aire \((f\ge0)\) \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) ; entre courbes \(\displaystyle\int_a^b(f-g)\)

Valeur moyenne \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\)