2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 7

Les nombres complexes

1 · Résumé du cours

1.1 Forme algébrique

Définitions Un complexe s'écrit \(z=a+ib\) avec \(a=\operatorname{Re}(z)\), \(b=\operatorname{Im}(z)\) et \(i^{2}=-1\).

Conjugué : \(\bar z=a-ib\). Alors \(z\bar z=a^{2}+b^{2}\).
Module : \(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) ; \(|z|^{2}=z\bar z\).
\(\overline{z+z'}=\bar z+\bar z'\), \(\overline{zz'}=\bar z\,\bar z'\), \(\overline{\big(\tfrac{z}{z'}\big)}=\tfrac{\bar z}{\bar z'}\).

1.2 Forme trigonométrique & exponentielle

Écritures Pour \(z\neq0\), avec \(r=|z|\) et \(\theta=\arg(z)\) : \[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,e^{i\theta}.\] \(\cos\theta=\dfrac{a}{r}\), \(\sin\theta=\dfrac{b}{r}\).

Module & argument \[|zz'|=|z|\,|z'|,\quad \Big|\frac{z}{z'}\Big|=\frac{|z|}{|z'|},\quad \arg(zz')=\arg z+\arg z',\quad \arg\Big(\frac{z}{z'}\Big)=\arg z-\arg z'.\] Formule de Moivre : \(\big(e^{i\theta}\big)^{n}=e^{in\theta}\), soit \((\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\).

Affixe \(z=a+ib\) : le module \(r=|z|=OM\) et l'argument \(\theta=\arg(z)\), avec \(a=r\cos\theta\) et \(b=r\sin\theta\).

1.3 Équations & racines

Second degré à coefficients réels Pour \(az^{2}+bz+c=0\) avec \(\Delta=b^{2}-4ac<0\) : \[z=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\quad(\text{deux racines conjuguées}).\]

1.4 Interprétation géométrique

Affixe Au point \(M(a;b)\) on associe l'affixe \(z=a+ib\).

\(AB=|z_B-z_A|\) (distance).
\(\big(\vec{u},\vec{AB}\big)\) et angles : \(\arg\!\big(\tfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\big)\).
\(z_A,z_B,z_C\) alignés \(\iff \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\).

2 · Feuille de route

Forme algébrique

Calculs, conjugué, module, inverse.

Forme trigo / exponentielle

Passer d'une forme à l'autre.

Module, argument, Moivre

Produits, quotients, puissances.

Équations

Second degré, racines carrées, racines nᵉ.

Géométrie

Distances, angles, alignement, transformations.

3 · Exercices choisis

Forme algébrique

Exercice 1

Écrire sous forme \(a+ib\) : \(z=\dfrac{3+i}{1-i}\).

Voir la correction

On multiplie par le conjugué : \(z=\dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i\).

Module & argument

Exercice 2

Déterminer le module et un argument de \(z=1+i\sqrt3\), puis écrire \(z\) sous forme exponentielle.

Voir la correction

\(|z|=\sqrt{1+3}=2\). \(\cos\theta=\frac12\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{3}\). Donc \(z=2e^{i\pi/3}\).

Moivre

Exercice 3

Calculer \((1+i)^{8}\).

Voir la correction

\(1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}\Rightarrow (1+i)^{8}=(\sqrt2)^{8}e^{i2\pi}=16\).

Équation du second degré

Exercice 4

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^{2}-2z+5=0\).

Voir la correction

\(\Delta=4-20=-16<0\), \(\sqrt{-\Delta}=4\). \(z=\dfrac{2\pm4i}{2}=1\pm2i\).

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Pour un quotient, multiplie par le conjugué du dénominateur pour le rendre réel.

Astuce Pour une puissance, passe en forme exponentielle : Moivre transforme \(z^n\) en un simple produit d'angles.

Piège Un argument est défini modulo \(2\pi\) — précise l'intervalle et vérifie les signes de \(\cos\) et \(\sin\).

Piège \(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) : ne pas oublier la racine (ce n'est pas \(a^2+b^2\)).

Formulaire à retenir

Conjugué & module \(\bar z=a-ib,\quad |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad z\bar z=|z|^{2}\)

Formes \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,e^{i\theta}\)

Module / argument \(|zz'|=|z||z'|,\quad \arg(zz')=\arg z+\arg z'\)

Moivre \(\big(e^{i\theta}\big)^{n}=e^{in\theta}\)

Second degré \((\Delta<0)\) \(z=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\)