2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 2

Dérivation & étude de fonctions

1 · Résumé du cours

1.1 Nombre dérivé & tangente

Définition \(f\) est dérivable en \(a\) si la limite suivante existe et est finie : \[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\] La tangente à \((C_f)\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation : \[y=f'(a)\,(x-a)+f(a).\]

Propriété Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). (La réciproque est fausse : \(x\mapsto|x|\) est continue mais non dérivable en 0.)
\(f\) est dérivable en \(a\) \(\iff\) \(f'_g(a)=f'_d(a)\) (nombres dérivés à gauche et à droite égaux).

1.2 Dérivées usuelles

À connaître par cœur \[(x^{n})'=n x^{n-1},\quad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}},\quad \Big(\frac1x\Big)'=-\frac{1}{x^{2}},\] \[(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (\tan x)'=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}.\]

1.3 Opérations sur les dérivées

\((u+v)'=u'+v'\) et \((k\,u)'=k\,u'\)
\((u\,v)'=u'v+uv'\)
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\) et \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^{2}}\)

1.4 Dérivée d'une fonction composée

Théorème \((v\circ u)'(x)=u'(x)\cdot v'\big(u(x)\big)\). En particulier : \[(u^{n})'=n\,u'\,u^{n-1},\quad (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},\quad (\sin u)'=u'\cos u,\quad (\cos u)'=-u'\sin u.\]

1.5 Dérivée de la réciproque, de la racine nᵉ et des puissances

Théorème Si \(f\) est dérivable et strictement monotone sur \(I\), et \(f'(x)\neq 0\), alors \(f^{-1}\) est dérivable sur \(f(I)\) et : \[\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}.\] De plus : \(\big(\sqrt[n]{x}\big)'=\dfrac{1}{n}\,x^{\frac1n-1}\) et \((x^{r})'=r\,x^{r-1}\) pour \(x>0,\ r\in\mathbb{Q}\).

La courbe de \(f^{-1}\) est l'image de celle de \(f\) par la symétrie d'axe la droite \(y=x\) (la première bissectrice).

1.6 Dérivée & sens de variation

Théorème fondamental de l'étude de fonctions Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) :

Si \(f'>0\) sur \(I\) alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Si \(f'<0\) sur \(I\) alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Si \(f'=0\) sur \(I\) alors \(f\) est constante sur \(I\).

\(f\) admet un extremum local en \(x_0\) si \(f'\) s'annule en changeant de signe en \(x_0\).

Là où f ′ > 0, \(f\) est croissante ; là où f ′ < 0, elle est décroissante. Les extremums sont atteints là où la tangente est horizontale (f ′ s'annule en changeant de signe).

Le tableau de variations résume l'étude : le signe de \(f'\) donne le sens de variation de \(f\) (flèches), et les extremums apparaissent là où \(f'\) s'annule en changeant de signe.

1.7 Convexité, concavité & points d'inflexion

Dérivée seconde Soit \(f\) deux fois dérivable sur un intervalle \(I\) :

Si \(f''>0\) sur \(I\), alors \(f\) est convexe (la courbe est au-dessus de ses tangentes).
Si \(f''<0\) sur \(I\), alors \(f\) est concave (la courbe est en dessous de ses tangentes).

Le point \(A\big(x_0;f(x_0)\big)\) est un point d'inflexion si \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(x_0\) : la courbe y traverse sa tangente.

En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente : \(f''\) change de signe (ici concave puis convexe).

1.8 Branches infinies

Asymptotes

Horizontale : si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite \(y=\ell\) est asymptote horizontale.
Verticale : si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\), la droite \(x=a\) est asymptote verticale.
Oblique : si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0\), la droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique — avec \(a=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}\) puis \(b=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-ax\big)\).

Branches paraboliques S'il n'y a pas d'asymptote, on étudie \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}\) :

Limite \(=\pm\infty\) : branche parabolique de direction l'axe \((Oy)\).
Limite \(=0\) : branche parabolique de direction l'axe \((Ox)\).
Limite \(=a\ (a\neq0)\) avec \(\lim\big(f(x)-ax\big)=\pm\infty\) : branche parabolique de direction \(y=ax\).

2 · Feuille de route

La progression conseillée pour maîtriser la dérivation et l'étude de fonctions.

Nombre dérivé & tangente

Définition, interprétation géométrique, équation de la tangente.

Dérivées usuelles & opérations

Table à mémoriser, produit, quotient, multiple.

Fonction composée

Identifier \(u\) et \(v\) ; \((u^n)'\), \((\sqrt u)'\), \((\sin u)'\).

Réciproque, racine nᵉ, puissances

\((f^{-1})'\), dérivée de \(\sqrt[n]{x}\) et de \(x^{r}\).

Variations & extremums

Signe de \(f'\), tableau de variations, extremums locaux.

Convexité & points d'inflexion

Signe de \(f''\), convexe/concave, points d'inflexion.

Branches infinies

Asymptotes (horizontale, verticale, oblique) et branches paraboliques.

Étude complète & problèmes

Synthèse : tableau, courbe, tangentes, optimisation.

3 · Exercices choisis

Sélection couvrant chaque compétence, avec correction guidée.

Calcul · produit & quotient

Exercice 1

Dériver : \(f(x)=(x^{2}-1)\sqrt{x}\) et \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}+1}\).

Voir la correction

\(f'(x)=2x\sqrt{x}+(x^{2}-1)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{5x^{2}-1}{2\sqrt{x}}\).
\(g'(x)=\dfrac{2(x^{2}+1)-(2x+1)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{-2x^{2}-2x+2}{(x^{2}+1)^{2}}\).

Composée

Exercice 2

Dériver : \(f(x)=\sqrt{x^{2}+1}\) et \(g(x)=\sin(3x^{2})\).

Voir la correction

\(f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\). \(g'(x)=6x\cos(3x^{2})\).

Tangente

Exercice 3

Soit \(f(x)=x^{3}-3x+1\). Déterminer l'équation de la tangente à \((C_f)\) au point d'abscisse \(a=1\).

Voir la correction

\(f'(x)=3x^{2}-3\), \(f'(1)=0\) et \(f(1)=-1\). Tangente : \(y=0\cdot(x-1)-1\), soit \(y=-1\) (tangente horizontale).

Dérivabilité en un point

Exercice 4

Étudier la dérivabilité en 0 de \(f(x)=x\sqrt{x}\) (pour \(x\ge0\)) et de \(g(x)=|x|\).

Voir la correction

\(\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sqrt{x}\to0\) : \(f\) est dérivable en 0, \(f'(0)=0\).
Pour \(g\) : taux à droite \(=1\), à gauche \(=-1\) : \(g\) n'est pas dérivable en 0.

Étude de variations

Exercice 5

Étudier les variations de \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+1\) sur \(\mathbb{R}\) et donner ses extremums.

Voir la correction

\(f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)\). \(f'>0\) sur \(]-\infty;0[\cup]2;+\infty[\), \(f'<0\) sur \(]0;2[\). Maximum local \(f(0)=1\) ; minimum local \(f(2)=-3\).

Dérivée de la réciproque

Exercice 6

Soit \(f(x)=x^{3}+x\) sur \(\mathbb{R}\). Justifier que \(f\) admet une réciproque dérivable et calculer \((f^{-1})'(2)\).

Voir la correction

\(f'(x)=3x^{2}+1>0\) : \(f\) strictement croissante, bijective. \(f(1)=2\Rightarrow f^{-1}(2)=1\). \((f^{-1})'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{4}\).

Convexité · point d'inflexion

Exercice 7

Soit \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\). Étudier la convexité de \(f\) et déterminer son point d'inflexion.

Voir la correction

\(f'(x)=3x^{2}-6x\), \(f''(x)=6x-6=6(x-1)\). \(f''<0\) sur \(]-\infty;1[\) (concave), \(f''>0\) sur \(]1;+\infty[\) (convexe). \(f''\) change de signe en 1 : point d'inflexion \(A(1;0)\).

Branches infinies · asymptote oblique

Exercice 8

Étudier les branches infinies de \(f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-1}\) en 1 et en \(\pm\infty\).

Voir la correction

En 1 : \(\lim_{x\to1}f(x)=\pm\infty\) ⇒ asymptote verticale \(x=1\).
En \(\pm\infty\) : \(a=\lim\dfrac{f(x)}{x}=\lim\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-x}=1\) ; \(b=\lim\big(f(x)-x\big)=\lim\dfrac{x+1}{x-1}=1\). Donc asymptote oblique \(y=x+1\).

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Tangente horizontale \(\iff f'(a)=0\). Très utile pour repérer les extremums.

Astuce Composée : repère d'abord la fonction « extérieure » et la fonction « intérieure » \(u\), puis applique \((v\circ u)'=u'\,v'(u)\).

Astuce Signe de \(f'\) : factorise \(f'(x)\) au maximum pour lire son signe facilement dans le tableau.

Piège Dérivable ⇒ continue, mais continue ⇏ dérivable (contre-exemple \(|x|\) en 0).

Piège Quotient : l'ordre compte — c'est \(u'v-uv'\) au numérateur, pas l'inverse.

Piège Extremum : \(f'(x_0)=0\) ne suffit pas — il faut que \(f'\) change de signe en \(x_0\).

Piège Domaine : \(\sqrt{u}\) n'est dérivable que là où \(u>0\) (attention aux bornes).

Piège Point d'inflexion : \(f''(x_0)=0\) ne suffit pas — il faut que \(f''\) change de signe en \(x_0\) (même logique que l'extremum avec \(f'\)).

Astuce Branches infinies : commence toujours par \(\lim\frac{f(x)}{x}\). Si c'est un réel \(a\), calcule \(\lim\big(f(x)-ax\big)\) pour trancher entre asymptote oblique et branche parabolique.

Piège Asymptote oblique : il ne suffit pas que \(\lim\frac{f(x)}{x}=a\) soit fini — il faut aussi que \(\lim\big(f(x)-ax\big)=b\) soit fini. Sinon c'est une branche parabolique.

Formulaire à retenir

Nombre dérivé \(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

Tangente en \(a\) \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)

Dérivées usuelles \((x^{n})'=nx^{n-1},\ (\sqrt x)'=\dfrac{1}{2\sqrt x},\ (\sin)'=\cos,\ (\cos)'=-\sin\)

Opérations \((uv)'=u'v+uv',\quad \Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\)

Composée \((v\circ u)'=u'\cdot v'(u)\)

Réciproque \((f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}\)

Variations \(f'>0\Rightarrow\) croissante ; extremum si \(f'\) change de signe

Convexité \(f''>0\Rightarrow\) convexe ; inflexion si \(f''\) change de signe