2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 10

Les équations différentielles

1 · Résumé du cours

1.1 L'équation \(y'=ay\)

Solution générale Les solutions de \(y'=ay\) (avec \(a\in\mathbb{R}\)) sur \(\mathbb{R}\) sont : \[y(x)=C\,e^{ax},\qquad C\in\mathbb{R}.\] Avec une condition initiale \(y(x_0)=y_0\), la solution est unique.

1.2 L'équation \(y'=ay+b\)

Solution générale Pour \(a\neq0\), les solutions de \(y'=ay+b\) sont : \[y(x)=C\,e^{ax}-\frac{b}{a},\qquad C\in\mathbb{R}.\] (La constante \(-\tfrac{b}{a}\) est la solution particulière constante.)

1.3 L'équation \(y''+\omega^{2}y=0\)

Solutions (oscillateur) Les solutions de \(y''+\omega^{2}y=0\) (\(\omega>0\)) sont : \[y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x),\qquad A,B\in\mathbb{R}.\] On peut aussi les écrire \(y(x)=R\cos(\omega x+\varphi)\).

1.4 Méthode avec conditions initiales

Déterminer les constantes On écrit la solution générale, puis on utilise les conditions (\(y(x_0)=y_0\), éventuellement \(y'(x_0)=y_1\)) pour trouver \(C\) (ou \(A,B\)).

2 · Feuille de route

\(y'=ay\)

Solutions \(Ce^{ax}\).

\(y'=ay+b\)

Solution particulière + \(Ce^{ax}\).

\(y''+\omega^{2}y=0\)

\(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\).

Conditions initiales

Déterminer les constantes.

3 · Exercices choisis

\(y'=ay\)

Exercice 1

Résoudre \(y'=3y\) puis trouver la solution vérifiant \(y(0)=2\).

Voir la correction

\(y(x)=Ce^{3x}\). \(y(0)=C=2\Rightarrow y(x)=2e^{3x}\).

\(y'=ay+b\)

Exercice 2

Résoudre \(y'=-2y+6\) et trouver la solution telle que \(y(0)=0\).

Voir la correction

\(y(x)=Ce^{-2x}-\dfrac{6}{-2}=Ce^{-2x}+3\). \(y(0)=C+3=0\Rightarrow C=-3\), donc \(y(x)=3-3e^{-2x}\).

Second ordre

Exercice 3

Résoudre \(y''+4y=0\) avec \(y(0)=1\) et \(y'(0)=2\).

Voir la correction

\(\omega=2\) : \(y(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)\). \(y(0)=A=1\). \(y'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\), \(y'(0)=2B=2\Rightarrow B=1\). Donc \(y(x)=\cos(2x)+\sin(2x)\).

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Pour \(y'=ay+b\), la solution particulière est simplement la constante \(-\tfrac{b}{a}\).

Astuce Pour le second ordre, utilise \(y(0)\) puis \(y'(0)\) : chaque condition fixe une constante.

Piège Attention au signe de \(a\) : \(y'=-2y\) donne \(Ce^{-2x}\), pas \(Ce^{2x}\).

Piège Pour \(y''+\omega^{2}y=0\), c'est \(\omega\) (et non \(\omega^{2}\)) qui apparaît dans \(\cos(\omega x)\).

Formulaire à retenir

\(y'=ay\) \(y(x)=C\,e^{ax}\)

\(y'=ay+b\ (a\neq0)\) \(y(x)=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}\)

\(y''+\omega^{2}y=0\) \(y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\)

Constantes déterminées par les conditions initiales \(y(x_0),\ y'(x_0)\)