2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 8

Les fonctions exponentielles

1 · Résumé du cours

1.1 Définition

Fonction exponentielle La fonction \(\exp\) est la réciproque de \(\ln\) : \(y=e^{x}\iff x=\ln y\) (avec \(y>0\)). Elle est définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0;+\infty[\), et \(e^{0}=1\), \(e^{1}=e\).

Règles de calcul \[e^{a+b}=e^{a}e^{b},\quad e^{-a}=\frac{1}{e^{a}},\quad e^{a-b}=\frac{e^{a}}{e^{b}},\quad \big(e^{a}\big)^{n}=e^{na}.\] Et les liens : \(\ln(e^{x})=x\ (\forall x)\), \(e^{\ln x}=x\ (x>0)\).

1.2 Limites de référence

À connaître \[\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0^{+},\] \[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}=0,\qquad \lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1.\] « En \(+\infty\), \(e^{x}\) l'emporte sur toute puissance de \(x\). »

1.3 Dérivée, variations & primitive

Étude \((e^{x})'=e^{x}>0\) : \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

\((e^{u})'=u'\,e^{u}\).
Une primitive de \(u'\,e^{u}\) est \(e^{u}\).
\(e^{a}=e^{b}\iff a=b\) ; \(e^{a}<e^{b}\iff a<b\).

\(\exp\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), passe par \((0;1)\), et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0\) (l'axe des abscisses est asymptote). \(\exp\) et \(\ln\) sont réciproques : leurs courbes sont symétriques par rapport à \(y=x\).

2 · Feuille de route

Définition & règles

Lien avec \(\ln\), propriétés algébriques.

Équations & inéquations

\(\exp\) bijective ; se ramener à \(e^{A}=e^{B}\).

Limites

Croissances comparées \(\frac{e^x}{x}\), \(xe^{x}\).

Dérivée & primitive

\((e^{u})'=u'e^{u}\), primitives.

Étude de fonctions

Fonctions du type \(x\mapsto e^{x}+\dots\).

3 · Exercices choisis

Équation

Exercice 1

Résoudre \(e^{2x}-3e^{x}+2=0\).

Voir la correction

On pose \(X=e^{x}>0\) : \(X^{2}-3X+2=0\Rightarrow X=1\) ou \(X=2\). Donc \(e^{x}=1\Rightarrow x=0\) ou \(e^{x}=2\Rightarrow x=\ln2\).

Limite

Exercice 2

Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{2}e^{x}\).

Voir la correction

\(\dfrac{e^{x}}{x^{2}}=\Big(\dfrac{e^{x/2}}{x}\Big)^{2}\cdot\dots\to+\infty\) (l'exponentielle l'emporte). \(x^{2}e^{x}\to0\) en \(-\infty\).

Dérivée

Exercice 3

Dériver \(f(x)=e^{-x^{2}}\) et \(g(x)=(x-1)e^{x}\).

Voir la correction

\(f'(x)=-2x\,e^{-x^{2}}\). \(g'(x)=e^{x}+(x-1)e^{x}=x\,e^{x}\).

Primitive

Exercice 4

Déterminer une primitive de \(f(x)=x\,e^{x^{2}}\).

Voir la correction

\(f(x)=\tfrac12\cdot 2x\,e^{x^{2}}\Rightarrow F(x)=\tfrac12 e^{x^{2}}\ (+k)\).

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Pour une équation en \(e^{x}\), pose \(X=e^{x}>0\) : tu obtiens souvent un polynôme.

Astuce En \(+\infty\), \(e^{x}\) écrase tout ; en \(-\infty\), il « éteint » les puissances (\(x^n e^x\to0\)).

Piège \(e^{a+b}=e^{a}e^{b}\) mais \(e^{a}+e^{b}\) ne se simplifie pas.

Piège \(e^{x}>0\) toujours : si \(X=e^{x}\) donne une valeur \(\le0\), elle est à rejeter.

Formulaire à retenir

Règles \(e^{a+b}=e^{a}e^{b},\quad e^{-a}=\dfrac{1}{e^{a}},\quad (e^{a})^{n}=e^{na}\)

Liens avec \(\ln\) \(\ln(e^{x})=x,\quad e^{\ln x}=x\ (x>0)\)

Dérivée \((e^{x})'=e^{x},\quad (e^{u})'=u'e^{u}\)

Primitive \(u'e^{u}\to e^{u}\)

Limites \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty,\ \lim_{x\to-\infty}xe^{x}=0,\ \lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1\)