Fiche de révision — Calcul intégral

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Calcul intégral

Sciences Excellence — Anass Shimi

1 · Définition & lien avec la primitive

Définition

Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\)

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\)

Existence

Toute fonction continue sur \(I\) y admet des primitives
Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie

Astuce : le \(+k\) s'élimine dans \(F(b)-F(a)\).

Méthode

Chercher une primitive \(F\) de \(f\)
Évaluer aux deux bornes

Aire sous la courbe de f entre a et b, représentant l'intégrale

Si \(f\ge0\) : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) est l'aire sous \(C_f\) entre \(a\) et \(b\).

2 · Propriétés

\(\displaystyle\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\!\int_a^b\! f+\beta\!\int_a^b\! g\)

\(\displaystyle\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f\)

\(\displaystyle\int_a^b f=-\int_b^a f\)

\(\displaystyle\int_a^a f=0\)

\(a\le b,\ f\ge0\Rightarrow\displaystyle\int_a^b f\ge0\)

\(f\le g\Rightarrow\displaystyle\int_a^b f\le\int_a^b g\)

3 · Interprétation géométrique

Aire entre deux courbes

Si \(f\ge g\) sur \([a,b]\)

\(\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx\)

Si \(f\) change de signe

L'intégrale n'est plus une aire
Découper selon le signe, ou intégrer \(|f|\)

Attention : \(f<0\Rightarrow\) intégrale négative.

Valeur moyenne

\(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)

Hauteur du rectangle de même aire

Aire comprise entre deux courbes f et g entre a et b

Aire entre \(C_f\) et \(C_g\) : on intègre la différence \(f-g\) (\(f\) au-dessus).

4 · Méthodes de calcul

Reconnaître une forme composée

\(u'\,u^{n}\ \Rightarrow\ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}\)
\(\dfrac{u'}{u}\ \Rightarrow\ \ln|u|\)
\(u'\,e^{u}\ \Rightarrow\ e^{u}\)
\(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\ \Rightarrow\ 2\sqrt{u}\)

Astuce : identifie \(u\), puis vérifie que \(u'\) est là.

Intégration par parties

\(\displaystyle\int_a^b u'v=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'\)

\(v\) : la partie qui se simplifie en dérivant (\(x\), \(\ln x\))
\(u'\) : la partie facile à primitiver (\(e^{x}\), \(\cos x\))

5 · Exemples résolus

1\(\displaystyle\int_0^1 x^{2}\,dx=\Big[\tfrac{x^{3}}{3}\Big]_0^1=\dfrac13\)

2\(\displaystyle\int_0^1\dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx=\big[\ln(x^{2}+1)\big]_0^1=\ln 2\)

3\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx=1\) (IPP)

4\(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=\big[\sin x\big]_0^{\frac{\pi}{2}}=1\)

5\(\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{\ln x}{x}\,dx=\Big[\tfrac{(\ln x)^{2}}{2}\Big]_1^{e}=\dfrac12\)

6\(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx=\Big[\tfrac{e^{2x}}{2}\Big]_0^1=\dfrac{e^{2}-1}{2}\)

★ Astuces géniales

Tout revient à trouver une primitive : entraîne-toi à reconnaître \(\frac{u'}{u}\), \(u'e^{u}\), \(u'u^{n}\).
Intégrale ≠ aire si \(f\) change de signe sur \([a,b]\).
Ne jamais oublier d'évaluer aux deux bornes : \(F(b)-F(a)\).
Pour un produit : IPP, en dérivant la partie qui se simplifie.

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