Fiche de révision — Les nombres complexes

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Les nombres complexes

Sciences Excellence — Anass Shimi

1 · Forme algébrique

Définition

\(z=a+ib\), avec \(i^{2}=-1\)
\(\operatorname{Re}(z)=a,\ \operatorname{Im}(z)=b\)

\(a,b\in\mathbb{R}\)

Conjugué

\(\bar z=a-ib\)
Symétrique de \(M\) par rapport à \((Ox)\)

Module

\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(z\,\bar z=|z|^{2}\)

Astuce : \(M(a,b)\) a pour affixe \(z=a+ib\).

Plan complexe : point M d'affixe z=a+ib, module |z| et argument théta

Point \(M\) d'affixe \(z=a+ib\) : module \(|z|=OM\), argument \(\theta=(\vec{u},\overrightarrow{OM})\).

2 · Conjugué & module — propriétés

\(\overline{z+z'}=\bar z+\bar{z'}\)

\(\overline{z\,z'}=\bar z\,\bar{z'}\)

\(\overline{\Big(\dfrac{z}{z'}\Big)}=\dfrac{\bar z}{\bar{z'}}\)

\(z\,\bar z=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}\)

\(\dfrac1z=\dfrac{\bar z}{|z|^{2}}\)

\(|z\,z'|=|z|\,|z'|\)

\(\Big|\dfrac{z}{z'}\Big|=\dfrac{|z|}{|z'|}\)

\(|z^{n}|=|z|^{n}\)

\(|\bar z|=|z|\)

z et son conjugué symétriques par rapport à l'axe réel

\(z\) et \(\bar z\) : symétriques par rapport à l'axe réel (arguments \(\theta\) et \(-\theta\)).

3 · Formes trigonométrique & exponentielle

Écritures de \(z\)

Trigo : \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
Exponentielle : \(z=r\,e^{i\theta}\)
\(r=|z|\), \(\cos\theta=\dfrac{a}{r},\ \sin\theta=\dfrac{b}{r}\)

Arguments

\(\arg(z\,z')=\arg z+\arg z'\)
\(\arg\dfrac{z}{z'}=\arg z-\arg z'\)
\(\arg(z^{n})=n\arg z\)

Astuce : \(e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}\).

4 · Formules de Moivre & Euler

Moivre

\((\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta\)

\(\big(e^{i\theta}\big)^{n}=e^{in\theta}\)

Euler

\(\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\)

\(\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\)

5 · Applications géométriques

Distances & milieu

\(AB=|z_B-z_A|\)
Milieu : \(z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}\)

Ensembles de points

\(|z-z_A|=r\) : cercle de centre \(A\)
\(|z-z_A|=|z-z_B|\) : médiatrice de \([AB]\)

Rotation

\(z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)\)

Centre \(\omega\), angle \(\theta\)

Angle orienté

\(\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)=\arg\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\)

★ Astuces géniales

\(z\,\bar z=|z|^{2}\) : idéal pour simplifier \(\dfrac1z\) et les quotients.
Pour les puissances, passer en forme exponentielle (Moivre).
\(|z-z_A|\) est une distance : interpréter géométriquement.
Multiplier par \(e^{i\theta}\) \(=\) rotation d'angle \(\theta\).

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