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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Dérivation — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Nombre dérivé & tangente
Nombre dérivé \(f'(a)\)
  • Limite du taux d'accroissement
  • Existe si cette limite est finie
\(\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
Tangente en \(a\)
  • Droite de pente \(f'(a)\) passant par \((a,f(a))\)
\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
Dérivabilité
  • Dérivable en \(a\) \(\Rightarrow\) continue en \(a\)
  • La réciproque est fausse
Astuce : tangente horizontale quand \(f'(a)=0\).
Tangente à la courbe au point A(a, f(a)) de pente f'(a)
Tangente \(T_a\) en \(A(a,f(a))\), de pente \(f'(a)\).
2 · Dérivées usuelles
\((x^{n})'=n\,x^{n-1}\)
\((\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}\)
\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)
\((\tan x)'=1+\tan^{2}x\)
\((e^{x})'=e^{x}\)
\((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\)
\((k)'=0\)
3 · Opérations & composée
\((u+v)'=u'+v'\)
\((k\,u)'=k\,u'\)
\((uv)'=u'v+uv'\)
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}\)
\((v\circ u)'=u'\times v'(u)\)
\((u^{n})'=n\,u'\,u^{n-1}\)
\((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)
\((e^{u})'=u'\,e^{u}\)
\((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\)
4 · Variations & convexité
Sens de variation
  • \(f'>0\) sur \(I\Rightarrow f\) croissante
  • \(f'<0\) sur \(I\Rightarrow f\) décroissante
  • Extremum si \(f'\) change de signe
Astuce : factorise \(f'\) pour lire son signe.
Convexité
  • \(f''>0\Rightarrow f\) convexe (\(\cup\))
  • \(f''<0\Rightarrow f\) concave (\(\cap\))
  • Point d'inflexion : \(f''\) change de signe
Ex : \(f(x)=x^{3}\Rightarrow f''(x)=6x\), inflexion en \(0\).
Courbe concave puis convexe avec point d'inflexion I(a, f(a))
Concave (\(f''<0\)) puis convexe (\(f''>0\)) : inflexion en \(I(a,f(a))\).
5 · Exemples résolus
1\((3x^{2}-5x)'=6x-5\)
2\(\big((2x+1)^{3}\big)'=6(2x+1)^{2}\)
3\(\big(e^{x^{2}}\big)'=2x\,e^{x^{2}}\)
4\(\big(\ln(x^{2}+1)\big)'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}\)
5\(\big(x\,e^{x}\big)'=(x+1)\,e^{x}\)
6\(\left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}\)
★ Astuces géniales
  • Bien identifier la forme (produit, quotient, composée) avant de dériver.
  • Factoriser \(f'\) pour étudier son signe et dresser le tableau de variations.
  • Tangente horizontale quand \(f'(a)=0\).
  • \(f''\) donne la convexité et les points d'inflexion.
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