Fiche de révision — Les équations différentielles

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Les équations différentielles

Sciences Excellence — Anass Shimi

1 · Équations du premier ordre

\(y'=a\,y\)

L'inconnue est une fonction, pas un nombre

\(y(x)=C\,e^{ax},\quad C\in\mathbb{R}\)

\(y'=a\,y+b\) \((a\neq0)\)

\(y(x)=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}\)

\(-\dfrac ba\) : solution constante (régime permanent)

Condition initiale

\(y(x_0)=y_0\) détermine \(C\)
La solution devient unique

Astuce : même schéma qu'au chapitre 4 (\(F+k\)).

Famille des solutions de y'=ay, la condition initiale en sélectionne une

Une infinité de solutions \(C\,e^{ax}\) ; la condition \(y(0)=1\) en choisit une seule (en doré).

2 · Pourquoi l'exponentielle ?

\((e^{ax})'=a\,e^{ax}\)

\(e^{x}\) est proportionnelle à sa dérivée

\(e^{rx}\neq0\) toujours

La démonstration en une ligne

On pose \(z(x)=y(x)\,e^{-ax}\)
\(z'=e^{-ax}(y'-ay)=0\)
Dérivée nulle sur un intervalle \(\Rightarrow z\) constante

Donc \(y=C\,e^{ax}\) — et rien d'autre.

3 · Équations du second ordre

Équation caractéristique

Pour \(y''+a\,y'+b\,y=0\) :

\(r^{2}+a\,r+b=0,\quad \Delta=a^{2}-4b\)

D'où elle vient

On cherche \(y=e^{rx}\)
\(y''+ay'+by=e^{rx}(r^{2}+ar+b)\)
Or \(e^{rx}\neq0\) : il reste le trinôme

Astuce : ce n'est pas une recette — c'est une factorisation.

4 · Les trois cas selon \(\Delta\)

\(\Delta>0\) : deux racines réelles

\(y=A\,e^{r_1x}+B\,e^{r_2x}\)

\(\Delta=0\) : racine double \(r=-\frac a2\)

\(y=(A+Bx)\,e^{rx}\)

\(\Delta<0\) : racines complexes \(p\pm iq\)

\(y=e^{px}\big(A\cos(qx)+B\sin(qx)\big)\)

\(p=-\dfrac a2\), \(q=\dfrac{\sqrt{|\Delta|}}{2}\)

Deux conditions

Deux constantes \(A\) et \(B\) \(\Rightarrow\) il faut \(y(x_0)\) et \(y'(x_0)\)

Astuce : position et vitesse initiales.

Les trois régimes de y''+ay'+by=0 selon le signe du discriminant

Les 3 régimes. Seul \(\Delta<0\) donne des oscillations amorties : \(p\) amortit, \(q\) fait osciller.

5 · Exemples résolus

1\(y'=3y,\ y(0)=5\Rightarrow y=5e^{3x}\)

2\(y'=-2y+6\Rightarrow y=Ce^{-2x}+3\)

3\(y''-5y'+6y=0\Rightarrow y=Ae^{3x}+Be^{2x}\)

4\(y''+4y=0\Rightarrow y=A\cos 2x+B\sin 2x\)

5\(y''-4y'+4y=0\Rightarrow y=(A+Bx)e^{2x}\)

6\(y'=-2y+6\) : \(y\to3\) en \(+\infty\) (régime permanent)

★ Astuces géniales

L'inconnue est une fonction — et la réponse est presque toujours une exponentielle.
\(y'=ay+b\) : régime transitoire \(Ce^{ax}\) + régime permanent \(-\frac ba\).
Ordre 1 : une condition. Ordre 2 : deux conditions (deux constantes).
\(\Delta<0\Rightarrow\) racines complexes \(\Rightarrow\) oscillations amorties (circuit RLC).
Toujours vérifier en dérivant la solution trouvée.

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