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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Fonction exponentielle

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Définition & variations
Définition
  • Réciproque de \(\ln\), définie sur \(\mathbb{R}\)
  • \(e^{x}>0\) pour tout \(x\)
\(e^{0}=1,\quad e^{1}=e\)
Sens de variation
  • \((e^{x})'=e^{x}>0\)
  • Strictement croissante
  • Convexe : \((e^{x})''=e^{x}>0\)
Lien avec \(\ln\)
  • \(e^{\ln x}=x\ (x>0)\)
  • \(\ln(e^{x})=x\)
Astuce : \(e^{x}\) n'est jamais nul.
Courbe de y=e^x avec asymptote y=0 et points (0,1) et (1,e)
\(C_{\exp}\) : asymptote horizontale \(y=0\) en \(-\infty\), passe par \((0,1)\) et \((1,e)\).
2 · Propriétés algébriques
\(e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}\)
\(e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}\)
\(e^{-a}=\dfrac1{e^{a}}\)
\((e^{a})^{n}=e^{na}\)
\(e^{a/2}=\sqrt{e^{a}}\)
\(e^{0}=1,\ e^{1}=e\)
\(e^{a}=e^{b}\Leftrightarrow a=b\)
\(e^{a}>0\ \text{toujours}\)
3 · Limites
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty\)
4 · Dérivées & primitives
Dérivées
  • \((e^{x})'=e^{x}\)
  • \((e^{u})'=u'\,e^{u}\)
Ex : \((e^{x^{2}})'=2x\,e^{x^{2}}\)
Primitives & tangente
  • \(u'\,e^{u}\ \Rightarrow\ e^{u}\)
  • Tangente en \(0\) : \(y=x+1\)
  • \(e^{x}\ge x+1\) (convexité)
Courbe e^x au-dessus de sa tangente y=x+1 en O
Tangente en \(O\) : \(y=x+1\) ; la courbe est au-dessus (\(e^{x}\ge x+1\)).
5 · Équations & inéquations
Résolution
  • \(e^{a}=e^{b}\Leftrightarrow a=b\)
  • \(e^{a}<e^{b}\Leftrightarrow a<b\)
Astuce : \(e^{x}\) est strictement croissante.
Équation \(e^{x}=k\)
  • Si \(k>0\) : \(x=\ln k\)
  • Si \(k\le 0\) : aucune solution
★ Astuces géniales
  • \(e^{x}\) est toujours strictement positif (jamais nul).
  • Transformer produits & puissances en sommes d'exposants.
  • Croissance comparée : \(e^{x}\) l'emporte sur toute puissance de \(x\).
  • \(e^{x}\) et \(\ln\) sont réciproques : \(e^{\ln x}=x\), \(\ln(e^{x})=x\).
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