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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Limites — Méthodes & Exemples

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Identifier la forme
\(\dfrac{\infty}{\infty}\)
Infini sur infini
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^{2}+1}{x^{2}-3x}\)
\(\dfrac{0}{0}\)
Zéro sur zéro
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}\)
\(\infty-\infty\)
Infini moins infini
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x\)
\(0\times\infty\)
Zéro fois infini
\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x\)
\(1^{\infty}\)
Un puissance infini
\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}(1+x)^{\frac1x}\)
\(0^{0}\)
Zéro puissance zéro
\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x^{x}\)
\(\infty^{0}\)
Infini puissance zéro
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(1+\tfrac1x\big)^{x}\)
Pas de F.I. ?
On remplace directement
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)
2 · Choisir la bonne méthode
\(\dfrac{\infty}{\infty}\)
  • Factoriser le terme dominant
  • Diviser par la plus haute puissance
  • Comparer les degrés
Astuce : regarde les degrés !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^{3}+2x}{x^{3}-x+1}=3\)
\(\dfrac{0}{0}\)
  • Factoriser puis simplifier
  • Rationaliser (conjuguée)
  • Utiliser les limites usuelles
Astuce : simplifie avant de remplacer !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12\)
\(\infty-\infty\)
  • Mettre au même dénominateur
  • Factoriser le terme commun
  • Multiplier par la conjuguée
Astuce : transforme pour éliminer \(\infty-\infty\) !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac12\)
\(0\times\infty\)
  • Transformer en \(\frac00\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\)
  • Écrire sous forme d'un quotient
Astuce : écris en fraction !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0\)
\(1^{\infty}\ ,\ 0^{0}\ ,\ \infty^{0}\)
  • Écrire \(f=e^{\,g\ln f}\)
  • Calculer la limite de \(g\ln f\)
  • Revenir avec l'exponentielle
Astuce : toujours passer par le \(\ln\) !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}(1+x)^{\frac1x}=e\)
Fonctions trigo
  • Se ramener à \(\frac{\sin u}{u}\to1\)
  • Utiliser \(\frac{1-\cos u}{u^{2}}\to\frac12\)
Astuce : ajuste le facteur devant \(\sin\) !
Ex : \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 5x}{x}=5\)
3 · Rappels des limites usuelles
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty\)
Courbe de sin(x)/x tendant vers 1 quand x tend vers 0
Limite usuelle : \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\).
4 · Exemples résolus
1\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x^{2}-4}=2\)
2\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12\)
3\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac12\)
4\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0\)
5\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}(1+x)^{\frac1x}=e\)
6\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x^{x}=1\)
7\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(1+\tfrac1x\big)^{x}=e\)
8\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 5x}{x}=5\)
★ Astuces géniales
  • Toujours identifier la forme d'abord.
  • Simplifier (ou factoriser) avant de remplacer.
  • Connaître les limites usuelles par cœur.
  • Formes en puissance : en cas de doute, passer par le \(\ln\).
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