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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Fonction logarithme népérien

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Définition & variations
Définition
  • Définie sur \(]0,+\infty[\)
  • Primitive de \(\dfrac1x\) nulle en \(1\)
\(\ln(1)=0,\quad \ln(e)=1\)
Sens de variation
  • \((\ln x)'=\dfrac1x>0\) sur \(]0,+\infty[\)
  • Strictement croissante
  • Concave : \((\ln x)''=-\dfrac1{x^{2}}<0\)
Signe
  • \(\ln x>0\) si \(x>1\)
  • \(\ln x<0\) si \(0<x<1\)
Astuce : \(\ln x=0\Leftrightarrow x=1\).
Courbe de y=ln x avec asymptote x=0 et points (1,0) et (e,1)
\(C_{\ln}\) : asymptote verticale \(x=0\), passe par \((1,0)\) et \((e,1)\).
2 · Propriétés algébriques
\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)
\(\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b\)
\(\ln\dfrac1a=-\ln a\)
\(\ln(a^{n})=n\ln a\)
\(\ln\sqrt{a}=\dfrac12\ln a\)
\(\ln(e^{x})=x\)
\(e^{\ln x}=x\ (x>0)\)
\(\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\)
3 · Limites
\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1\)
4 · Dérivées & primitives
Dérivées
  • \((\ln x)'=\dfrac1x\)
  • \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\)
  • \((\ln|x|)'=\dfrac1x\)
Primitives
  • \(\dfrac{u'}{u}\ \Rightarrow\ \ln|u|\)
  • \(\dfrac1x\ \Rightarrow\ \ln|x|\)
Ex : \(\dfrac{2x}{x^{2}+1}\Rightarrow \ln(x^{2}+1)\)
5 · Équations & symétrie avec \(\exp\)
Équations & inéquations
  • \(\ln a=\ln b\Leftrightarrow a=b\) \((a,b>0)\)
  • \(\ln a<\ln b\Leftrightarrow a<b\)
Astuce : pose la condition d'existence \((>0)\) d'abord.
Réciproque de \(\exp\)
  • \(\ln\) et \(\exp\) sont réciproques
  • Courbes symétriques par rapport à \(y=x\)
Courbes de exp et ln symétriques par rapport à la droite y=x
\(y=\ln x\) et \(y=e^{x}\) : symétriques par rapport à \(y=x\) (points \((e,1)\) et \((1,e)\)).
★ Astuces géniales
  • Domaine d'abord : \(\ln\) n'existe que pour un argument \(>0\).
  • Transformer produits/quotients en sommes avec les propriétés.
  • Croissance comparée : \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) (le \(\ln\) l'emporte lentement).
  • \(\ln\) et \(\exp\) réciproques : \(\ln(e^{x})=x\), \(e^{\ln x}=x\).
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