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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Primitives — Méthodes & Formules

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Définition & propriétés
Définition
  • \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si :
\(F'(x)=f(x)\quad\text{pour tout }x\in I\)
Ensemble des primitives
  • Elles diffèrent d'une constante
  • Famille de courbes translatées
\(G(x)=F(x)+k,\ k\in\mathbb{R}\)
Existence & unicité
  • Toute fonction continue sur \(I\) admet des primitives
  • Une seule vérifie \(F(x_0)=y_0\)
Astuce : la condition \(F(x_0)=y_0\) fixe \(k\).
Famille de primitives F(x)+k : paraboles translatées verticalement, primitive passant par A(1,2)
Famille des primitives \(F(x)+k\) : courbes translatées verticalement ; \(A(1,2)\) fixe une primitive unique.
2 · Primitives usuelles
\(a\ \Rightarrow\ ax\)
\(x^{n}\ (n\neq-1)\ \Rightarrow\ \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)
\(\dfrac{1}{x^{2}}\ \Rightarrow\ -\dfrac{1}{x}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ \Rightarrow\ 2\sqrt{x}\)
\(\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ \ln|x|\)
\(e^{x}\ \Rightarrow\ e^{x}\)
\(\cos x\ \Rightarrow\ \sin x\)
\(\sin x\ \Rightarrow\ -\cos x\)
\(\dfrac{1}{\cos^{2}x}\ \Rightarrow\ \tan x\)
3 · Formes composées
\(u'\,u^{n}\ \Rightarrow\ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}\)
\(\dfrac{u'}{u^{2}}\ \Rightarrow\ -\dfrac{1}{u}\)
\(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\ \Rightarrow\ 2\sqrt{u}\)
\(\dfrac{u'}{u}\ \Rightarrow\ \ln|u|\)
\(u'\,e^{u}\ \Rightarrow\ e^{u}\)
\(u'\cos u\ \Rightarrow\ \sin u\)
\(u'\sin u\ \Rightarrow\ -\cos u\)
\(\dfrac{u'}{\cos^{2}u}\ \Rightarrow\ \tan u\)
\(af+bg\ \Rightarrow\ aF+bG\)
4 · Méthode
Reconnaître la forme
  • Identifier \(u\) et sa dérivée \(u'\)
  • Repérer \(u'u^{n}\), \(\frac{u'}{u}\), \(u'e^{u}\)…
Astuce : fais apparaître \(u'\) au numérateur.
Ajuster & vérifier
  • Multiplier / diviser par une constante
  • Diviser par la dérivée intérieure
  • Vérifier en dérivant \(F\)
Ex : \(\cos(3x)\Rightarrow \tfrac13\sin(3x)\)
5 · Exemples résolus
1\(3x^{2}-4x+1\ \Rightarrow\ x^{3}-2x^{2}+x+k\)
2\((2x+1)^{4}\ \Rightarrow\ \dfrac{(2x+1)^{5}}{10}+k\)
3\(\cos(3x)\ \Rightarrow\ \dfrac13\sin(3x)+k\)
4\(e^{2x}\ \Rightarrow\ \dfrac12\,e^{2x}+k\)
5\(\dfrac{x}{x^{2}+1}\ \Rightarrow\ \dfrac12\ln(x^{2}+1)+k\)
6\(f(x)=2x,\ F(0)=1\ \Rightarrow\ F(x)=x^{2}+1\)
★ Astuces géniales
  • Toujours vérifier en dérivant \(F\) : on doit retrouver \(f\).
  • Ne jamais oublier la constante \(+k\).
  • Forme composée : ajuster le coefficient (diviser par la dérivée intérieure).
  • La condition \(F(x_0)=y_0\) donne une seule primitive.
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