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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT
Calcul de probabilité
Sciences Excellence — Anass Shimi1 · Dénombrement : les 2 questions
Avant tout calcul, demande-toi…
- 1. L'ordre compte-t-il ?
- 2. Y a-t-il remise ?
Les réponses désignent la formule. « Simultanément » ⇒ combinaison.
Les trois tirages
- Successif avec remise : \(n^{p}\)
- Successif sans remise : \(A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}\)
- Simultané : \(\dbinom np=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\)
Pourquoi diviser par \(p!\)
- \(p\) objets s'ordonnent de \(p!\) façons
- Chaque combinaison = \(p!\) arrangements
\(\dbinom np=\dfrac{A_n^{p}}{p!}\)
2 · Probabilités : les bases
\(P(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}\)
\(0\le P(A)\le1\)
\(P(\Omega)=1,\ P(\varnothing)=0\)
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(P(\overline A)=1-P(A)\)
Incompatibles : \(A\cap B=\varnothing\)
Les événements sont des parties de \(\Omega\) : le vocabulaire des probabilités est celui des ensembles.
Le réflexe « au moins un »
- Contraire de « au moins un » = « aucun »
- Presque toujours bien plus simple à compter
3 · Conditionnelle & probabilités totales
Probabilité conditionnelle
\(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\quad(P(A)\neq0)\)
\(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\)
Astuce : on change d'univers — \(A\) devient la référence.
Probabilités totales
\(P(B)=\sum_i P(A_i)\times P_{A_i}(B)\)
- Si \(\{A_i\}\) est une partition de \(\Omega\)
Ne pas renverser !
- \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\) sont différents
Ex : \(P_{M_1}(D)=0{,}05\) mais \(P_D(M_1)\approx0{,}48\)
L'arbre pondéré : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins. La somme des branches d'un nœud vaut 1.
4 · Indépendance
Définition
\(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)
- Ou encore : \(P_A(B)=P(B)\)
⚠️ Indépendants ≠ incompatibles
- Incompatibles : ne peuvent pas arriver ensemble
- Indépendants : l'un n'informe pas sur l'autre
Deux incompatibles de proba non nulles sont toujours dépendants !
5 · Variables aléatoires & loi binomiale
Espérance & variance
\(E(X)=\sum_i x_i\,p_i\)
\(V(X)=\sum_i x_i^{2}p_i-\big(E(X)\big)^{2}\)
- \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\) ; toujours \(\sum p_i=1\)
Loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\)
\(P(X=k)=\dbinom nk p^{k}(1-p)^{n-k}\)
\(E(X)=np,\quad V(X)=np(1-p)\)
Les 3 conditions — à écrire !
- Répétitions identiques
- Indépendantes
- À deux issues
Piège : un tirage sans remise brise l'indépendance ⇒ pas binomiale.
\(\mathcal{B}(10\,;0{,}4)\) : les probabilités se concentrent autour de \(E(X)=np=4\).
6 · Exemples résolus
15R+3V, tirage simultané de 2 : \(\text{card}(\Omega)=\dbinom82=28\)
2\(P(\text{2 rouges})=\dfrac{\binom52}{28}=\dfrac{5}{14}\)
3\(P(\text{au moins 1 verte})=1-\dfrac5{14}=\dfrac9{14}\)
4\(P(D)=0{,}6\times0{,}05+0{,}4\times0{,}08=0{,}062\)
5\(P_D(M_1)=\dfrac{0{,}03}{0{,}062}\approx0{,}484\)
6\(X\sim\mathcal{B}(4\,;0{,}5)\Rightarrow P(X=2)=0{,}375\), \(E(X)=2\)
★ Astuces géniales
- Avant tout : l'ordre compte ? y a-t-il remise ? — c'est ça qui donne la formule.
- « Simultanément » ⇒ combinaisons. « Au moins un » ⇒ événement contraire.
- Indépendants ≠ incompatibles — c'est même presque le contraire.
- Conditionnelle ⇒ arbre pondéré : multiplier le long, additionner les chemins.
- \(P_A(B)\neq P_B(A)\) : ne pas renverser le conditionnement.
- Binomiale : citer les 3 conditions, et se méfier des tirages sans remise.
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