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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Le produit scalaire dans l'espace

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Produit scalaire & orthogonalité
Définition
\(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\)
  • \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^{2}\)
Expression analytique
\(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'\)
  • \(\|\vec u\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)
Attention : valable en repère orthonormé seulement.
Le cœur du chapitre
\(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\)
  • « Perpendiculaire » devient un calcul
2 · Équation cartésienne d'un plan
Vecteur normal
  • \(\vec n\) orthogonal à tous les vecteurs du plan
  • Il suffit qu'il le soit à 2 vecteurs non colinéaires
L'équation
\(M\in(P)\iff\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0\)
\(\Rightarrow\ ax+by+cz+d=0\)
Astuce : \(\vec n(a,b,c)\) se lit sur l'équation !
Positions relatives
  • \((P)\parallel(P')\iff\vec n,\vec{n'}\) colinéaires
  • \((P)\perp(P')\iff\vec n\cdot\vec{n'}=0\)
Plan défini par un point A et un vecteur normal n
\(M\in(P)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\perp\vec n\) — c'est toute l'équation du plan.
3 · Distance d'un point à un plan
La formule
\(d\big(M,(P)\big)=\dfrac{|a x_M+b y_M+c z_M+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\)
Ne pas oublier la valeur absolue : une distance n'est jamais négative.
Interprétation
  • C'est \(MH\), avec \(H\) le projeté orthogonal
  • Le signe de \(ax_M+by_M+cz_M+d\) dit de quel côté est \(M\)
Distance d'un point M à un plan, mesurée perpendiculairement
La distance se mesure perpendiculairement : c'est la plus courte de toutes.
4 · La sphère
Équation
\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}\)
  • Centre \(\Omega(a,b,c)\), rayon \(R\)
Discuter le signe !
  • Forme canonique : \(\;\cdots=k\)
  • \(k>0\) : sphère de rayon \(\sqrt k\)
  • \(k=0\) : le point \(\Omega\)
  • \(k<0\) : ensemble vide
Astuce : les 3 cas font partie du barème.
Plan tangent en \(A\)
  • Vecteur normal \(=\overrightarrow{\Omega A}\)
Le rayon est ⊥ au plan tangent — comme pour un cercle.
5 · Intersections : tout se joue sur \(d\) et \(R\)
Sphère & plan
  • \(d>R\) : vide
  • \(d=R\) : tangent (1 point)
  • \(d<R\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}\)
Astuce : \(r\) n'est que Pythagore dans \(\Omega HM\).
Sphère & droite
  • \(d>R\) : vide
  • \(d=R\) : tangente (1 point)
  • \(d<R\) : 2 points
Par le calcul : trinôme en \(t\), signe de \(\Delta\)
Les trois cas d'intersection entre une sphère et un plan
Sphère & plan : vide, tangent, ou cercle.
Les trois cas d'intersection entre une sphère et une droite
Sphère & droite : même logique, on compare \(d\) et \(R\). Seule la nature change.
6 · Exemples résolus
1\(A(1,0,2)\), \(\vec n(2,-1,3)\Rightarrow (P):2x-y+3z-8=0\)
2\(d\big(M(3,1,-1),(P)\big)=\dfrac{6}{\sqrt{14}}\)
3\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z+5=0\Rightarrow \Omega(1,-2,3),\ R=3\)
4\((P):2x-y+2z-3=0\Rightarrow d=\dfrac73<3\) : cercle
5\(r=\sqrt{9-\tfrac{49}{9}}=\dfrac{4\sqrt2}{3}\)
6\(2x-y+3z-5=0\Rightarrow \vec n(2,-1,3)\) (lecture directe)
★ Astuces géniales
  • Tout repose sur : \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\).
  • Le vecteur normal se lit sur l'équation \(ax+by+cz+d=0\).
  • Distance : ne jamais oublier la valeur absolue.
  • Sphère : forme canonique + discuter le signe (sphère / point / vide).
  • Intersections : comparer \(d\) et \(R\). \(r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}\), c'est Pythagore.
  • Plan tangent en \(A\) : vecteur normal \(=\overrightarrow{\Omega A}\).
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