Aller au contenu principal
SciencesExcellence← Retour au site
← Toutes les fiches
Σ
Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Le produit vectoriel

Sciences Excellence — Anass Shimi
1 · Définition
\(\vec u\wedge\vec v\) est le vecteur tel que…
  • Orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\)
  • \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,|\sin\theta|\)
  • \((\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v)\) direct (main droite)
Scalaire ou vectoriel ?
  • \(\vec u\cdot\vec v\) : un nombre, avec \(\cos\) → nul si orthogonaux
  • \(\vec u\wedge\vec v\) : un vecteur, avec \(\sin\) → nul si colinéaires
Astuce : les deux se complètent.
u∧v perpendiculaire au plan de u et v, aire du parallélogramme
\(\vec u\wedge\vec v\) est ⊥ au plan de \(\vec u\) et \(\vec v\), et sa norme est l'aire du parallélogramme doré.
2 · Aire & colinéarité
\(\|\vec u\wedge\vec v\|=\) aire du parallélogramme
\(\mathcal{A}(ABC)=\dfrac12\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|\)
\(\vec u\wedge\vec v=\vec 0\iff\) colinéaires
\(A,B,C\) alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec 0\)
Deux théorèmes, une seule idée
  • Base × hauteur \(=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta\)
  • Un triangle est la moitié d'un parallélogramme
  • Alignés \(\Rightarrow\) triangle aplati \(\Rightarrow\) aire nulle
3 · Propriétés & calcul
Les deux pièges
  • Pas commutatif : \(\vec v\wedge\vec u=-(\vec u\wedge\vec v)\)
  • Pas associatif : les parenthèses ne bougent pas
Ne transposez pas vos réflexes du produit scalaire !
Expression analytique
\(\vec u\wedge\vec v=\big(yz'-zy'\,;\;zx'-xz'\,;\;xy'-yx'\big)\)
Attention à la 2ᵉ composante : \(zx'-xz'\), le schéma s'inverse.
La vérification infaillible
  • \(\vec w\cdot\vec u=0\) et \(\vec w\cdot\vec v=0\)
Si l'un n'est pas nul → erreur de calcul.
4 · Applications
Plan par 3 points non alignés
  • \(\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\)
  • Puis \(ax+by+cz+d=0\) avec \(A\)
Le chapitre 11 exigeait un vecteur normal donné — ici on le construit.
Intersection de deux plans
Vecteur directeur : \(\vec u=\vec n\wedge\vec{n'}\)
  • Plans parallèles \(\Rightarrow\vec n\wedge\vec{n'}=\vec 0\) : pas de droite
5 · Exemples résolus
1\(\vec u(1,2,-1)\wedge\vec v(3,0,2)=(4,-5,-6)\)
2Vérif : \(4-10+6=0\) ✓ et \(12-0-12=0\) ✓
3\(A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)\Rightarrow\vec n(6,3,2)\)
4\((ABC):6x+3y+2z-6=0\)
5\(\mathcal{A}(ABC)=\dfrac12\sqrt{49}=\dfrac72\)
6\(\vec n(1,1,-1)\wedge\vec{n'}(2,-1,3)=(2,-5,-3)\)
★ Astuces géniales
  • \(\vec u\wedge\vec v\) = un vecteur ⊥ aux deux ; \(\vec u\cdot\vec v\) = un nombre.
  • Nul si colinéaires (à comparer : scalaire nul si orthogonaux).
  • \(\|\vec u\wedge\vec v\|\) = aire ; le triangle en est la moitié.
  • Pas commutatif, pas associatif — l'ordre compte.
  • Attention à la 2ᵉ composante : \(zx'-xz'\).
  • Toujours vérifier : \(\vec w\cdot\vec u=0\) et \(\vec w\cdot\vec v=0\).
Sciences Excellence · Travail — Méthode — Réussite · anassmaths.com