Fiche de révision — Représentation graphique d'une fonction

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Représentation graphique d'une fonction

Sciences Excellence — Anass Shimi

1 · Premiers réflexes

Domaine & parité

Déterminer le domaine \(D_f\)
\(f(-x)=f(x)\) : paire (symétrie \(Oy\))
\(f(-x)=-f(x)\) : impaire (symétrie \(O\))

Astuce : la parité réduit l'étude de moitié.

Périodicité

\(f\) est \(T\)-périodique si :

\(\exists\,T>0,\ \forall x\in D_f,\ f(x+T)=f(x)\)

Points particuliers

Intersections axes : \(f(x)=0\) et \(f(0)\)
Valeurs remarquables, zéros, symétries

2 · Limites & asymptotes

Asymptote verticale

\(\displaystyle\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)=\pm\infty\ \Rightarrow\ x=a\)

Asymptote horizontale

\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\ \Rightarrow\ y=\ell\)

Asymptote oblique

\(a=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}\), \(b=\displaystyle\lim(f(x)-ax)\)

Si \(\lim(f(x)-(ax+b))=0\) \((a\neq0)\) : \(y=ax+b\)

Branches paraboliques

Si \(|f(x)|\to+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}{x^{2}}\to k\neq0\)
Comportement parabolique (ou cubique…)

Courbe avec asymptote verticale x=1 et asymptote horizontale y=1

Asymptote verticale \(x=1\) et horizontale \(y=1\).

3 · Variations, convexité & tangente

Variations (signe de \(f'\))

\(f'>0\) sur \(I\Rightarrow f\) croissante
\(f'<0\) sur \(I\Rightarrow f\) décroissante
Extremum si \(f'\) change de signe

Convexité (signe de \(f''\))

\(f''>0\Rightarrow f\) convexe (\(\cup\))
\(f''<0\Rightarrow f\) concave (\(\cap\))
Inflexion : \(f''\) change de signe

Tangente en \(a\)

\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)

Astuce : horizontale si \(f'(a)=0\).

4 · Méthode complète pour tracer \(C_f\)

1Déterminer le domaine \(D_f\).

2Limites aux bornes \(\Rightarrow\) asymptotes.

3Parité ou périodicité (si possible).

4\(f'(x)\) : tableau de variations, extrema.

5\(f''(x)\) : convexité, points d'inflexion.

6Signe de \(f\), intersections avec les axes.

7Tracer asymptotes, points remarquables, tangentes.

8Relier en respectant variations & convexité.

5 · Exemple synthèse — \(f(x)=x^{3}-3x\)

Dérivée & variations

\(f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)\), zéros \(-1\) et \(1\)
Max \(f(-1)=2\) ; Min \(f(1)=-2\)

Convexité, zéros & limites

\(f''(x)=6x\) : inflexion en \((0,0)\)
Zéros : \(x(x^{2}-3)=0\Rightarrow -\sqrt3,\,0,\,\sqrt3\)
\(\lim_{-\infty}f=-\infty,\ \lim_{+\infty}f=+\infty\)

Courbe de f(x)=x^3-3x avec maximum (-1,2), minimum (1,-2), point d'inflexion (0,0) et zéros

\(C_f\) : maximum \((-1,2)\), minimum \((1,-2)\), inflexion \(I(0,0)\), zéros \(-\sqrt3,\,0,\,\sqrt3\).

★ Astuces géniales

Toujours commencer par le domaine de définition.
Étudier les limites et asymptotes en priorité.
\(f'\) donne les variations, \(f''\) la convexité.
Placer points remarquables et tangentes avant de relier harmonieusement.

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