Fiche de révision — Limite d'une suite numérique

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Limite d'une suite numérique

Sciences Excellence — Anass Shimi

1 · Vocabulaire & convergence

Suite convergente

\((u_n)\) converge vers \(\ell\) (fini)

\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\)

Suite divergente

\(\lim u_n=\pm\infty\)
ou pas de limite (ex. \((-1)^{n}\))

Monotonie & bornée

Croissante : \(u_{n+1}\ge u_n\)
Décroissante : \(u_{n+1}\le u_n\)
Bornée : majorée et minorée

Astuce : étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).

Termes d'une suite convergeant vers la limite l dans une bande

Suite convergente : les termes \(u_n\) s'accumulent autour de \(\ell\).

2 · Limites de référence

\(\displaystyle\lim\dfrac1n=0\)

\(\displaystyle\lim\dfrac1{n^{2}}=0\)

\(\displaystyle\lim\dfrac1{\sqrt{n}}=0\)

\(\displaystyle\lim\sqrt{n}=+\infty\)

\(\displaystyle\lim n^{k}=+\infty\ (k>0)\)

\(\displaystyle\lim\Big(\tfrac12\Big)^{n}=0\)

\(|q|<1\Rightarrow\lim q^{n}=0\)

\(q>1\Rightarrow\lim q^{n}=+\infty\)

\(\displaystyle\lim\Big(1+\tfrac1n\Big)^{n}=e\)

3 · Théorèmes

Encadrement (gendarmes)

Si \(u_n\le v_n\le w_n\)
et \(u_n\to\ell,\ w_n\to\ell\)

alors \(v_n\to\ell\)

Convergence monotone

Croissante et majorée \(\Rightarrow\) converge
Décroissante et minorée \(\Rightarrow\) converge

Comparaison

\(u_n\ge v_n\) et \(v_n\to+\infty\Rightarrow u_n\to+\infty\)

Arithmétique & géométrique

Arith. : \(u_n=u_0+nr\)
Géo. : \(u_n=u_0\,q^{\,n}\)

4 · Suites récurrentes \(u_{n+1}=f(u_n)\)

Limite = point fixe

Si \(u_n\to\ell\) et \(f\) continue

alors \(\ell=f(\ell)\)

Méthode

Montrer \((u_n)\) monotone et bornée (récurrence)
En déduire qu'elle converge
Résoudre \(\ell=f(\ell)\)

Escalier de convergence d'une suite récurrente vers le point fixe

Escalier : \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers le point fixe \(\ell\) où \(y=f(x)\) coupe \(y=x\).

5 · Exemples résolus

1\(\displaystyle\lim\dfrac{2n+1}{n+3}=2\)

2\(\displaystyle\lim\dfrac{n^{2}-n}{2n^{2}+1}=\dfrac12\)

3\(\displaystyle\lim\Big(\tfrac12\Big)^{n}=0\)

4\(\displaystyle\lim\Big(1+\tfrac1n\Big)^{n}=e\)

5\(u_n=\Big(\tfrac13\Big)^{n}\Rightarrow \lim u_n=0\)

6\(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\Rightarrow \ell=\sqrt{\ell+2}\Rightarrow \ell=2\)

★ Astuces géniales

Factoriser le terme dominant (comme pour les fonctions).
Géométrique : \(|q|<1\Rightarrow q^{n}\to0\).
Monotone + bornée \(\Rightarrow\) convergente.
Récurrence : la limite vérifie \(\ell=f(\ell)\).

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