2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 1

Limites & continuité

1 · Résumé du cours

1.1 Limites usuelles

Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) :

\[\lim_{x\to+\infty}x^{n}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}x^{n}=\begin{cases}+\infty & n \text{ pair}\\ -\infty & n \text{ impair}\end{cases}\]

\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{n}}=0,\qquad \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^{n}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x^{n}}=\begin{cases}+\infty & n \text{ pair}\\ -\infty & n \text{ impair}\end{cases}\]

Les 4 formes indéterminées \[\dfrac{0}{0}\;,\quad \dfrac{\infty}{\infty}\;,\quad \infty-\infty\;,\quad 0\times\infty\] Devant une F.I., on ne conclut jamais directement : il faut transformer l'expression.

1.2 Polynômes & fonctions rationnelles

Règle du terme dominant En \(\pm\infty\), un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré : \[\lim_{x\to\pm\infty}\big(a_nx^{n}+\dots\big)=\lim_{x\to\pm\infty}a_nx^{n},\qquad \lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_nx^{n}+\dots}{b_mx^{m}+\dots}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_nx^{n}}{b_mx^{m}}.\] En un réel \(a\) : \(\displaystyle\lim_{x\to a}P(x)=P(a)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}\) si \(Q(a)\neq0\).

1.3 Fonctions irrationnelles & trigonométriques

Si \(\lim f=\ell\ge0\) alors \(\lim\sqrt{f}=\sqrt{\ell}\) ; si \(\lim f=+\infty\) alors \(\lim\sqrt{f}=+\infty\).

Limites trigonométriques de référence \[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}.\]

1.4 Théorème de comparaison (encadrement)

Théorème « sandwich » Sur un voisinage de la borne :

Si \(f(x)\ge u(x)\) et \(\lim u=+\infty\) alors \(\lim f=+\infty\).
Si \(f(x)\le u(x)\) et \(\lim u=-\infty\) alors \(\lim f=-\infty\).
Si \(u(x)\le f(x)\le v(x)\) et \(\lim u=\lim v=\ell\) alors \(\lim f=\ell\).
Si \(|f(x)-\ell|\le u(x)\) et \(\lim u=0\) alors \(\lim f=\ell\).

1.5 Continuité

Définition \(f\) est continue en \(x_0\) si \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\).
\(f\) est continue en \(x_0\) \(\iff\) \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)\).

Toute fonction polynôme est continue sur \(\mathbb{R}\).
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine.
\(\cos\), \(\sin\), \(x\mapsto|x|\) sont continues sur \(\mathbb{R}\) ; \(x\mapsto\sqrt{x}\) sur \(\mathbb{R}^{+}\).
Opérations : \(f+g\), \(f\times g\), \(k\!\cdot\! f\), \(|f|\), et \(\frac{1}{g}\), \(\frac{f}{g}\) (si \(g\neq0\)) restent continues.
Composée : si \(f\) continue en \(a\) et \(g\) continue en \(f(a)\), alors \(g\circ f\) est continue en \(a\).

1.6 Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

TVI Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), alors pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe \(c\in[a;b]\) tel que \(f(c)=k\).

Si \(f\) est strictement monotone, ce \(c\) est unique.
Cas usuel : si \(f(a)\cdot f(b)<0\), l'équation \(f(x)=0\) admet une solution dans \(]a;b[\).

Dichotomie : on découpe \([a;b]\) en son milieu \(m=\frac{a+b}{2}\), on garde la moitié où \(f\) change de signe, et on recommence pour encadrer la solution.

1.7 Fonction réciproque

Définition & propriétés Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), elle admet une réciproque \(f^{-1}\) de \(J=f(I)\) vers \(I\), avec \(y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)\).

\(f^{-1}\) est continue et a le même sens de variation que \(f\).
\((C_f)\) et \((C_{f^{-1}})\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\).
\(f^{-1}\circ f(x)=x\) et \(f\circ f^{-1}(y)=y\).

1.8 Racine nᵉ & puissances rationnelles

Définition Pour \(n\in\mathbb{N}^*\setminus\{1\}\) et \(a\ge0\), \(\sqrt[n]{a}\) est l'unique réel positif tel que \((\sqrt[n]{a})^{n}=a\). La fonction \(x\mapsto\sqrt[n]{x}\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}^{+}\).
Puissances rationnelles : \(x^{p/q}=\sqrt[q]{x^{p}}\) pour \(x>0\).

Propriétés : \(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{xy}\), \(\big(\sqrt[n]{x}\big)^{m}=\sqrt[n]{x^{m}}\), \(x^{r}x^{r'}=x^{r+r'}\), \((x^{r})^{r'}=x^{r r'}\).

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre, du plus fondamental au plus exigeant.

Limites & formes indéterminées

Réflexe : reconnaître la F.I. avant tout calcul. Maîtriser le terme dominant.

Techniques de levée

Quantité conjuguée, factorisation, limites trigo de référence, encadrement.

Continuité

Définition en un point, à gauche/à droite, continuité avec paramètre, opérations.

TVI & dichotomie

Existence et unicité d'une solution ; encadrement par dichotomie.

Fonction réciproque

Justifier l'existence, déterminer \(f^{-1}\), lien graphique \(y=x\).

Racine nᵉ & puissances

Calcul avec \(\sqrt[n]{\,}\), équations \(x^{n}=a\), limites avec racines nᵉ.

3 · Exercices choisis

Une sélection représentative couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Limites · terme dominant

Exercice 1

Calculer : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}-4x+3}{x^{2}+x+1}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{-2x^{2}+x+1}{5x^{4}+x-8}\).

Voir la correction

On garde les termes de plus haut degré : \(\displaystyle\lim\frac{2x^{2}}{x^{2}}=2\). Pour la 2ᵉ : \(\displaystyle\lim\frac{-2x^{2}}{5x^{4}}=\lim\frac{-2}{5x^{2}}=0\).

Limites · quantité conjuguée

Exercice 2

Calculer : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x\).

Voir la correction

Forme \(\infty-\infty\). On multiplie par la conjuguée : \[\sqrt{x^{2}+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}\longrightarrow\frac{1}{2}.\]

Limites · trigonométrie

Exercice 3

Calculer : \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x\,\sin x}\).

Voir la correction

\(\displaystyle\frac{\sin(5x)}{x}=5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}\to 5\). Et \(\displaystyle\frac{1-\cos x}{x\sin x}=\frac{1-\cos x}{x^{2}}\cdot\frac{x}{\sin x}\to\frac12\).

Limites · encadrement

Exercice 4

Soit \(f(x)=\dfrac{2+\sin x}{x}\) pour \(x>0\). Montrer que \(\dfrac{1}{x}\le f(x)\le\dfrac{3}{x}\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Voir la correction

\(-1\le\sin x\le1\Rightarrow 1\le 2+\sin x\le3\), donc \(\frac1x\le f(x)\le\frac3x\). Par encadrement, \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).

Continuité · avec paramètre

Exercice 5

Soit \(f(x)=\dfrac{x^{3}-1}{x-1}\) si \(x<1\), \(f(1)=3\), et \(f(x)=\dfrac{mx-3}{x-1}\) si \(x>1\). Déterminer \(m\) pour que \(f\) soit continue en 1.

Voir la correction

À gauche : \(x^{2}+x+1\to3=f(1)\). À droite, limite finie ⇒ numérateur nul en 1 ⇒ \(m=3\), et alors \(\frac{3x-3}{x-1}=3\to3\). Donc \(m=3\).

TVI · existence & unicité

Exercice 6

Montrer que l'équation \(x^{3}+x-1=0\) admet une unique solution \(\alpha\in\,]0;1[\).

Voir la correction

\(f(x)=x^{3}+x-1\) continue et strictement croissante ⇒ solution unique. \(f(0)=-1<0\), \(f(1)=1>0\) ⇒ (TVI) \(\alpha\in\,]0;1[\).

Fonction réciproque

Exercice 7

Soit \(f(x)=\sqrt{x-2}\) sur \(I=[2;+\infty[\). Montrer que \(f\) admet une réciproque et déterminer \(f^{-1}(x)\).

Voir la correction

\(f\) continue et strictement croissante sur \([2;+\infty[\), bijective vers \(J=[0;+\infty[\). \(y=\sqrt{x-2}\Rightarrow x=y^{2}+2\), donc \(f^{-1}(x)=x^{2}+2\) sur \([0;+\infty[\).

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Toujours nommer la forme indéterminée avant de calculer. C'est elle qui dicte la technique.

Astuce \(\frac{\infty}{\infty}\) de polynômes : ne garder que les termes de plus haut degré.

Astuce \(\infty-\infty\) avec racines : multiplier par la quantité conjuguée.

Astuce Limites trigo : se ramener à \(\frac{\sin u}{u}\to1\) en ajustant le facteur.

Piège Continuité avec paramètre : il faut \(\lim^{-}=\lim^{+}=f(x_0)\), la valeur au point comprise.

Piège TVI : donne l'existence ; l'unicité exige la stricte monotonie. Vérifier la continuité d'abord.

Piège Réciproque : \(f^{-1}\) n'existe que si \(f\) est continue ET strictement monotone. Préciser \(J=f(I)\).

Formulaire à retenir

Formes indéterminées \(\dfrac{0}{0},\ \dfrac{\infty}{\infty},\ \infty-\infty,\ 0\times\infty\)

Rationnelle en \(\pm\infty\) \(\displaystyle\lim\dfrac{a_nx^{n}+\dots}{b_mx^{m}+\dots}=\lim\dfrac{a_nx^{n}}{b_mx^{m}}\)

Limites trigo \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12\)

Continuité en \(x_0\) \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)

TVI \(f\) continue, \(f(a)f(b)<0 \Rightarrow \exists\,c\in\,]a;b[,\ f(c)=0\)

Réciproque \(y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)\) ; symétrie / \(y=x\)