2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 6

Les fonctions logarithmes

1 · Résumé du cours

1.1 Définition & propriétés algébriques

Logarithme népérien \(\ln\) est la primitive de \(x\mapsto\dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) qui s'annule en 1. Ainsi \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\), \(\ln(1)=0\), \(\ln(e)=1\).

Règles de calcul (pour \(a,b>0\)) \[\ln(ab)=\ln a+\ln b,\quad \ln\!\Big(\frac{a}{b}\Big)=\ln a-\ln b,\quad \ln(a^{n})=n\ln a,\quad \ln\sqrt{a}=\tfrac12\ln a.\]

1.2 Limites de référence

À connaître \[\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty,\] \[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0,\qquad \lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.\] « En \(+\infty\), \(x\) l'emporte toujours sur \(\ln x\). »

1.3 Variations, dérivée & primitive

Étude \(\ln\) est continue, strictement croissante sur \(]0;+\infty[\), et réalise une bijection de \(]0;+\infty[\) vers \(\mathbb{R}\).

\((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) (avec \(u>0\)).
Une primitive de \(\dfrac{u'}{u}\) est \(\ln|u|\).
\(\ln a=\ln b\iff a=b\) ; \(\ln a<\ln b\iff a<b\) (pour \(a,b>0\)).

\(\ln\) est croissante sur \(]0;+\infty[\), passe par \((1;0)\), et \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty\) (l'axe \((Oy)\) est asymptote).

Logarithme décimal : \(\log(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\).

2 · Feuille de route

Propriétés algébriques

Transformer produits/quotients/puissances.

Équations & inéquations

\(\ln\) bijective + domaine \(x>0\).

Limites de référence

Croissances comparées \(\frac{\ln x}{x}\), \(x\ln x\).

Dérivée \((\ln u)'\)

\(\frac{u'}{u}\) et primitives \(\ln|u|\).

Étude de fonctions avec \(\ln\)

Variations, asymptotes, courbe.

3 · Exercices choisis

Simplification

Exercice 1

Simplifier \(A=\ln 8-\ln 2\) et \(B=\ln(e^{3})+\ln\sqrt{e}\).

Voir la correction

\(A=\ln\frac{8}{2}=\ln4=2\ln2\). \(B=3+\tfrac12=\tfrac72\).

Équation

Exercice 2

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln3\).

Voir la correction

Domaine : \(x>1\). \(\ln\big((x-1)(x+1)\big)=\ln3\Rightarrow x^{2}-1=3\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x=2\) (on rejette \(-2\)). Solution : \(x=2\).

Limite · croissances comparées

Exercice 3

Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x^{2}\ln x\).

Voir la correction

\(\dfrac{\ln x}{\sqrt x}=\dfrac{2\ln\sqrt x}{\sqrt x}\to0\). Et \(x^{2}\ln x=x\cdot(x\ln x)\to0\).

Dérivée

Exercice 4

Dériver \(f(x)=\ln(x^{2}+1)\) et \(g(x)=x\ln x-x\) sur \(]0;+\infty[\).

Voir la correction

\(f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}\). \(g'(x)=\ln x+x\cdot\frac1x-1=\ln x\). (Donc \(g\) est une primitive de \(\ln\).)

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Avant de résoudre une équation avec \(\ln\), fixe le domaine (\(x>0\)) — puis vérifie les solutions à la fin.

Astuce Pour lever une F.I. avec \(\ln\), rappelle-toi : en \(+\infty\), \(x\) gagne toujours contre \(\ln x\).

Piège \(\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b\) — la règle porte sur le produit, pas la somme.

Piège Primitive de \(\frac{u'}{u}\) : c'est \(\ln|u|\) avec la valeur absolue (pour couvrir \(u<0\)).

Formulaire à retenir

Règles \(\ln(ab)=\ln a+\ln b,\quad \ln(a^{n})=n\ln a,\quad \ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b\)

Valeurs \(\ln 1=0,\quad \ln e=1\)

Dérivée \(\ln'(x)=\dfrac1x,\quad (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\)

Primitive \(\dfrac{u'}{u}\to \ln|u|\)

Limites \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0,\ \lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0,\ \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\)