2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 4

Les fonctions primitives

1 · Résumé du cours

1.1 Définition

Primitive \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) si \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in I\).

Propriétés fondamentales

Toute fonction continue sur \(I\) y admet des primitives.
Deux primitives de \(f\) diffèrent d'une constante : si \(F\) est une primitive, les autres sont \(F+k,\ k\in\mathbb{R}\).
Il existe une unique primitive \(F\) telle que \(F(x_0)=y_0\) (condition initiale).

1.2 Primitives usuelles

À connaître \[x^{n}\ \to\ \frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\neq-1),\qquad \frac{1}{x^{2}}\ \to\ -\frac{1}{x},\qquad \frac{1}{\sqrt{x}}\ \to\ 2\sqrt{x},\] \[\cos x\ \to\ \sin x,\qquad \sin x\ \to\ -\cos x,\qquad \frac{1}{\cos^{2}x}\ \to\ \tan x.\]

1.3 Primitives de formes composées

Avec \(u'\) en facteur \[u'\,u^{n}\ \to\ \frac{u^{n+1}}{n+1},\qquad \frac{u'}{\sqrt{u}}\ \to\ 2\sqrt{u},\qquad \frac{u'}{u^{2}}\ \to\ -\frac{1}{u},\] \[u'\cos(u)\ \to\ \sin(u),\qquad u'\sin(u)\ \to\ -\cos(u).\] Et par linéarité : une primitive de \(a f+b g\) est \(aF+bG\).

2 · Feuille de route

Définition & unicité

\(F'=f\) ; deux primitives à une constante près.

Primitives usuelles

Mémoriser la table (puissances, trigo).

Formes composées

Reconnaître \(u'u^n\), \(\frac{u'}{\sqrt u}\), \(u'\cos u\)…

Condition initiale

Déterminer la constante \(k\) avec \(F(x_0)=y_0\).

3 · Exercices choisis

Primitives usuelles

Exercice 1

Déterminer une primitive de \(f(x)=3x^{2}-\dfrac{2}{x^{2}}+\cos x\).

Voir la correction

\(F(x)=x^{3}+\dfrac{2}{x}+\sin x\ (+k)\).

Forme \(u'u^n\)

Exercice 2

Primitive de \(f(x)=2x\,(x^{2}+1)^{3}\).

Voir la correction

Avec \(u=x^{2}+1\), \(u'=2x\) : \(F(x)=\dfrac{(x^{2}+1)^{4}}{4}\ (+k)\).

Forme \(\frac{u'}{\sqrt u}\)

Exercice 3

Primitive de \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\).

Voir la correction

\(f(x)=\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\Rightarrow F(x)=\sqrt{x^{2}+1}\ (+k)\).

Condition initiale

Exercice 4

Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x)=2x-1\) telle que \(F(1)=3\).

Voir la correction

\(F(x)=x^{2}-x+k\). \(F(1)=k=3\Rightarrow F(x)=x^{2}-x+3\).

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Vérifie toujours en dérivant : si \(F'=f\), la primitive est correcte.

Astuce Cherche à faire apparaître \(u'\) en facteur pour reconnaître une forme composée.

Piège \(x^{n}\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) est faux pour \(n=-1\) : la primitive de \(\frac1x\) fait intervenir \(\ln\) (chapitre suivant).

Piège Ne pas oublier la constante \(+k\) — indispensable dès qu'il y a une condition initiale.

Formulaire à retenir

Définition \(F\) primitive de \(f\iff F'=f\) ; primitives = \(F+k\)

Usuelles \(x^{n}\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\neq-1),\quad \cos\to\sin,\quad \sin\to-\cos\)

\(u'u^{n}\) \(\to\ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}\)

\(\dfrac{u'}{\sqrt u}\) \(\to\ 2\sqrt{u}\)

\(\dfrac{u'}{u^{2}}\) \(\to\ -\dfrac{1}{u}\)

Condition initiale \(k\) déterminé par \(F(x_0)=y_0\)