2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 13

Calcul de probabilité

1 · Résumé du cours

1.1 Vocabulaire & équiprobabilité

Probabilité Sur un univers \(\Omega\), \(0\le P(A)\le1\), \(P(\Omega)=1\), \(P(\bar A)=1-P(A)\), et \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\] En cas d'équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}=\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\).

1.2 Probabilité conditionnelle & indépendance

Conditionnement Pour \(P(B)>0\) : \(\displaystyle P_B(A)=P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\), donc \(P(A\cap B)=P(B)\,P_B(A)\).

Indépendance : \(A\) et \(B\) sont indépendants \(\iff P(A\cap B)=P(A)\,P(B)\).
Probabilités totales : si \((B_i)\) forme une partition de \(\Omega\), \(P(A)=\sum_i P(B_i)\,P_{B_i}(A)\).

Dans un arbre pondéré (ici deux tirages), la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches : \(P(R\cap R)=P(R)\times P(R\mid R)\).

1.3 Variable aléatoire

Loi, espérance, variance Une v.a. \(X\) prend les valeurs \(x_i\) avec \(p_i=P(X=x_i)\) (\(\sum p_i=1\)). \[E(X)=\sum_i x_i\,p_i,\qquad V(X)=\sum_i p_i\,\big(x_i-E(X)\big)^{2}=E(X^{2})-E(X)^{2},\qquad \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.\]

1.4 Loi binomiale

Schéma de Bernoulli On répète \(n\) fois, de façon indépendante, une épreuve de succès de probabilité \(p\). Le nombre de succès \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n;p)\) : \[P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad E(X)=np,\quad V(X)=np(1-p).\]

2 · Feuille de route

Dénombrement & équiprobabilité

Cas favorables / cas possibles.

Conditionnel & indépendance

Arbres, probabilités totales.

Variable aléatoire

Loi, espérance, variance.

Loi binomiale

\(\mathcal{B}(n;p)\), calculs de \(P(X=k)\).

3 · Exercices choisis

Équiprobabilité

Exercice 1

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?

Voir la correction

\(P(R)=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\).

Probabilité conditionnelle

Exercice 2

\(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\), \(P(A\cap B)=0{,}2\). Calculer \(P(A\mid B)\) et dire si \(A\) et \(B\) sont indépendants.

Voir la correction

\(P(A\mid B)=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5\). Or \(P(A)P(B)=0{,}5\times0{,}4=0{,}2=P(A\cap B)\) : \(A\) et \(B\) sont indépendants.

Espérance

Exercice 3

\(X\) prend les valeurs \(0,1,2\) avec \(P(X=0)=0{,}5\), \(P(X=1)=0{,}3\), \(P(X=2)=0{,}2\). Calculer \(E(X)\).

Voir la correction

\(E(X)=0\cdot0{,}5+1\cdot0{,}3+2\cdot0{,}2=0{,}7\).

Loi binomiale

Exercice 4

On lance 5 fois une pièce équilibrée. Soit \(X\) le nombre de « pile ». Calculer \(P(X=2)\) et \(E(X)\).

Voir la correction

\(X\sim\mathcal{B}(5;\tfrac12)\). \(P(X=2)=\binom{5}{2}(\tfrac12)^{2}(\tfrac12)^{3}=10\cdot\tfrac{1}{32}=\tfrac{10}{32}=\tfrac{5}{16}\). \(E(X)=5\cdot\tfrac12=2{,}5\).

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Fais un arbre pondéré : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long des branches.

Astuce Reconnais un schéma de Bernoulli (répétitions indépendantes, deux issues) pour appliquer la loi binomiale.

Piège Indépendant ≠ incompatible. Incompatibles : \(P(A\cap B)=0\). Indépendants : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

Piège Dans \(\mathcal{B}(n;p)\), ne pas oublier le coefficient \(\binom{n}{k}\) (le nombre de façons d'obtenir \(k\) succès).

Formulaire à retenir

Réunion \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

Conditionnelle \(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

Indépendance \(P(A\cap B)=P(A)\,P(B)\)

Espérance / variance \(E(X)=\sum x_i p_i,\quad V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}\)

Loi binomiale \(\mathcal{B}(n;p)\) \(P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\ E=np,\ V=np(1-p)\)