2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 11

Le produit scalaire dans l'espace

1 · Résumé du cours

1.1 Produit scalaire

Définitions Pour \(\vec u\,(x;y;z)\) et \(\vec v\,(x';y';z')\) dans un repère orthonormé : \[\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\big(\vec u,\vec v\big).\] Norme : \(\|\vec u\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\).

Orthogonalité \(\vec u\perp\vec v\iff \vec u\cdot\vec v=0\). Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire.

1.2 Plan dans l'espace

Équation cartésienne Un plan \((P)\) de vecteur normal \(\vec n\,(a;b;c)\) passant par \(A(x_0;y_0;z_0)\) a pour équation : \[a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0,\quad\text{soit}\quad ax+by+cz+d=0.\] Le vecteur \(\vec n\,(a;b;c)\) est normal à \((P)\).

Un plan \((P)\) est déterminé par un point \(A\) et un vecteur normal \(\vec n\) : son équation s'écrit \(ax+by+cz+d=0\).

Distance d'un point à un plan \[d\big(A,(P)\big)=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.\]

1.3 Sphère

Équation d'une sphère La sphère de centre \(\Omega(\alpha;\beta;\gamma)\) et de rayon \(R\) : \[(x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}+(z-\gamma)^{2}=R^{2}.\] Un plan est tangent à la sphère \(\iff d\big(\Omega,(P)\big)=R\).

2 · Feuille de route

Produit scalaire & norme

Expression analytique, angle, orthogonalité.

Équation d'un plan

Vecteur normal, point.

Distances

Point–plan, positions relatives.

Sphère

Équation, plan tangent, intersection.

3 · Exercices choisis

Orthogonalité

Exercice 1

Les vecteurs \(\vec u\,(1;-2;1)\) et \(\vec v\,(3;1;-1)\) sont-ils orthogonaux ?

Voir la correction

\(\vec u\cdot\vec v=3-2-1=0\) : oui, ils sont orthogonaux.

Équation de plan

Exercice 2

Déterminer l'équation du plan \((P)\) passant par \(A(1;0;2)\) et de vecteur normal \(\vec n\,(2;-1;3)\).

Voir la correction

\(2(x-1)-1(y-0)+3(z-2)=0\Rightarrow 2x-y+3z-8=0\).

Distance

Exercice 3

Calculer la distance de \(A(1;1;1)\) au plan \((P):\ 2x-y+2z-3=0\).

Voir la correction

\(d=\dfrac{|2-1+2-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{0}{3}=0\) : \(A\) appartient à \((P)\).

Sphère

Exercice 4

Le plan \((P):\ z=0\) est-il tangent à la sphère de centre \(\Omega(0;0;2)\) et de rayon \(2\) ?

Voir la correction

\(d(\Omega,(P))=|2|=2=R\) : oui, \((P)\) est tangent à la sphère.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Les coefficients \((a;b;c)\) de l'équation \(ax+by+cz+d=0\) donnent directement un vecteur normal.

Astuce Pour une position plan/sphère : compare \(d(\Omega,(P))\) à \(R\) (\(R\) disjoint).

Piège La formule de distance exige un repère orthonormé et un vecteur normal — n'oublie pas le \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) au dénominateur.

Piège \(\vec u\cdot\vec v=0\) signifie orthogonaux, pas « colinéaires ».

Formulaire à retenir

Produit scalaire \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\)

Orthogonalité \(\vec u\perp\vec v\iff \vec u\cdot\vec v=0\)

Plan \(ax+by+cz+d=0\), normal \(\vec n\,(a;b;c)\)

Distance point–plan \(d=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\)

Sphère \((x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}+(z-\gamma)^{2}=R^{2}\)