2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 12

Le produit vectoriel

1 · Résumé du cours

1.1 Définition

Produit vectoriel Le produit vectoriel \(\vec u\wedge\vec v\) est le vecteur :

orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\) ;
de norme \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\big|\sin(\vec u,\vec v)\big|\) ;
orienté selon la règle de la main droite.

Propriétés \[\vec v\wedge\vec u=-\,\vec u\wedge\vec v,\qquad \vec u\wedge\vec u=\vec 0,\] et \(\vec u\wedge\vec v=\vec0\iff \vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.

1.2 Expression analytique

Coordonnées Pour \(\vec u\,(x;y;z)\) et \(\vec v\,(x';y';z')\) : \[\vec u\wedge\vec v=\big(\,yz'-zy'\;;\;zx'-xz'\;;\;xy'-yx'\,\big).\]

1.3 Applications

Aires & plans

Aire du parallélogramme \((\vec u,\vec v)\) : \(\|\vec u\wedge\vec v\|\). Aire du triangle : \(\tfrac12\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|\).
Vecteur normal à un plan \((ABC)\) : \(\vec{AB}\wedge\vec{AC}\).
Distance d'un point \(M\) à une droite \((A,\vec u)\) : \(d=\dfrac{\|\vec{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\).

\(\|\vec u\wedge\vec v\|\) est l'aire du parallélogramme construit sur \(\vec u\) et \(\vec v\) ; le vecteur \(\vec u\wedge\vec v\) est orthogonal au plan \((\vec u,\vec v)\).

2 · Feuille de route

Définition & propriétés

Antisymétrie, colinéarité, norme.

Coordonnées

Calcul analytique de \(\vec u\wedge\vec v\).

Aires

Parallélogramme, triangle.

Plans & distances

Vecteur normal, distance point–droite.

3 · Exercices choisis

Calcul

Exercice 1

Calculer \(\vec u\wedge\vec v\) pour \(\vec u\,(1;2;0)\) et \(\vec v\,(0;1;3)\).

Voir la correction

\(\vec u\wedge\vec v=(2\cdot3-0\cdot1\,;\,0\cdot0-1\cdot3\,;\,1\cdot1-2\cdot0)=(6;-3;1)\).

Colinéarité

Exercice 2

Les vecteurs \(\vec u\,(1;-1;2)\) et \(\vec v\,(2;-2;4)\) sont-ils colinéaires ?

Voir la correction

\(\vec u\wedge\vec v=(-1\cdot4-2\cdot(-2)\,;\,2\cdot2-1\cdot4\,;\,1\cdot(-2)-(-1)\cdot2)=(0;0;0)\) : oui, colinéaires (\(\vec v=2\vec u\)).

Aire d'un triangle

Exercice 3

Calculer l'aire du triangle \(ABC\) avec \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(0;2;0)\).

Voir la correction

\(\vec{AB}\wedge\vec{AC}=(0;0;2)\), de norme 2. Aire \(=\tfrac12\cdot2=1\).

Vecteur normal

Exercice 4

Déterminer un vecteur normal au plan \((ABC)\) : \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\).

Voir la correction

\(\vec{AB}(-1;1;0)\), \(\vec{AC}(-1;0;1)\). \(\vec{AB}\wedge\vec{AC}=(1;1;1)\) : vecteur normal.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Le produit vectoriel donne directement un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs.

Astuce \(\vec u\wedge\vec v=\vec0\) est un test rapide de colinéarité.

Piège Le produit vectoriel n'est pas commutatif : \(\vec v\wedge\vec u=-\vec u\wedge\vec v\).

Piège Ne pas confondre : \(\vec u\cdot\vec v\) est un nombre (scalaire), \(\vec u\wedge\vec v\) est un vecteur.

Formulaire à retenir

Coordonnées \(\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy'\,;\,zx'-xz'\,;\,xy'-yx')\)

Antisymétrie \(\vec v\wedge\vec u=-\,\vec u\wedge\vec v\)

Colinéarité \(\vec u\wedge\vec v=\vec0\iff \vec u,\vec v\) colinéaires

Aire d'un triangle \(\dfrac12\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|\)