2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 3

Représentation graphique d'une fonction

1 · Résumé du cours

1.1 Parité & éléments de symétrie

Fonction paire / impaire

\(f\) est paire \(\iff\) pour tout \(x\in D_f\), \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=f(x)\). Courbe symétrique par rapport à l'axe \((Oy)\).
\(f\) est impaire \(\iff\) \(f(-x)=-f(x)\). Courbe symétrique par rapport à l'origine \(O\).

Fonction paire — courbe symétrique par rapport à l'axe \((Oy)\).

Fonction impaire — courbe symétrique par rapport à l'origine \(O\).

Tracer avec la parité On étudie et on trace \(f\) sur \(x\ge0\) seulement, puis on complète par symétrie : par rapport à l'axe \((Oy)\) si \(f\) est paire, par rapport à l'origine \(O\) si \(f\) est impaire.

Axe & centre de symétrie

La droite \(x=a\) est axe de symétrie de \((C_f)\) \(\iff\) \(f(2a-x)=f(x)\).
Le point \(I(a;b)\) est centre de symétrie \(\iff\) \(f(2a-x)=2b-f(x)\).

Une symétrie permet de réduire l'intervalle d'étude, puis de compléter la courbe par symétrie.

1.2 Périodicité

\(f\) est périodique de période \(T>0\) si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x\). On étudie \(f\) sur un intervalle de longueur \(T\), puis on translate la courbe.

1.3 Plan d'étude d'une fonction

Les étapes, dans l'ordre

Ensemble de définition \(D_f\).
Parité / périodicité \(\rightarrow\) réduire l'intervalle d'étude.
Limites aux bornes & branches infinies (asymptotes).
Dérivée \(f'\), signe, tableau de variations.
Points particuliers : intersections avec les axes, tangentes remarquables, point d'inflexion.
Tracé de la courbe.

1.4 Position relative courbe / asymptote

Étudier le signe de la différence Pour situer \((C_f)\) par rapport à une droite \(y=ax+b\), on étudie le signe de \(d(x)=f(x)-(ax+b)\) : \(d(x)>0\) : \((C_f)\) au-dessus ; \(d(x)<0\) : en dessous ; \(d(x)=0\) : point d'intersection.

La droite \(x=a\) est asymptote verticale (\(f\to\pm\infty\)) ; la droite \(y=b\) est asymptote horizontale (\(f\to b\) quand \(x\to\pm\infty\)).

2 · Feuille de route

Comment mener une étude graphique complète, sans rien oublier.

Domaine & symétries

\(D_f\), parité, période — pour réduire l'étude.

Limites & asymptotes

Branches infinies aux bornes de \(D_f\).

Variations

Signe de \(f'\), tableau, extremums.

Points particuliers

Intersections avec les axes, tangentes, inflexion.

Position / asymptote

Signe de \(f(x)-(ax+b)\).

Tracé

Courbe soignée, avec asymptotes et symétries.

3 · Exercices choisis

Parité

Exercice 1

Étudier la parité de \(f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}\) et de \(g(x)=x^{2}-\cos x\).

Voir la correction

\(f(-x)=\dfrac{-x^{3}}{x^{2}+1}=-f(x)\) : \(f\) est impaire. \(g(-x)=x^{2}-\cos x=g(x)\) : \(g\) est paire.

Centre de symétrie

Exercice 2

Montrer que \(I(1;2)\) est centre de symétrie de \((C_f)\) où \(f(x)=\dfrac{2x}{x-1}\).

Voir la correction

\(f(2-x)=\dfrac{2(2-x)}{(2-x)-1}=\dfrac{4-2x}{1-x}\). Or \(2\cdot2-f(x)=4-\dfrac{2x}{x-1}=\dfrac{4(x-1)-2x}{x-1}=\dfrac{2x-4}{x-1}=\dfrac{4-2x}{1-x}\). Égalité vérifiée : \(I(1;2)\) est centre de symétrie.

Position relative

Exercice 3

Soit \(f(x)=x+1+\dfrac{1}{x}\). La droite \(y=x+1\) est asymptote. Étudier la position de \((C_f)\) par rapport à elle.

Voir la correction

\(d(x)=f(x)-(x+1)=\dfrac{1}{x}\). Pour \(x>0\), \(d>0\) : \((C_f)\) au-dessus ; pour \(x<0\), \(d<0\) : en dessous.

Étude complète

Exercice 4

Étudier et représenter \(f(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{x-1}\) (domaine, asymptotes, variations).

Voir la correction

\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). On écrit \(f(x)=x-1-\dfrac{1}{x-1}\). Asymptote verticale \(x=1\), asymptote oblique \(y=x-1\). \(f'(x)=1+\dfrac{1}{(x-1)^{2}}>0\) : \(f\) strictement croissante sur chaque intervalle.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Repérer une symétrie dès le début fait gagner la moitié du travail (on n'étudie que la moitié du domaine).

Astuce Pour une fonction rationnelle, faire la division pour révéler l'asymptote oblique et simplifier \(f'\).

Piège Parité : vérifier d'abord que \(D_f\) est symétrique par rapport à 0, sinon \(f\) ne peut être ni paire ni impaire.

Piège Ne pas confondre axe de symétrie (\(f(2a-x)=f(x)\)) et centre de symétrie (\(f(2a-x)=2b-f(x)\)).

Piège La position par rapport à l'asymptote se lit sur le signe de \(f(x)-(ax+b)\), pas sur celui de \(f\).

Formulaire à retenir

Fonction paire \(f(-x)=f(x)\) — axe \((Oy)\)

Fonction impaire \(f(-x)=-f(x)\) — origine \(O\)

Axe de symétrie \(x=a\) \(f(2a-x)=f(x)\)

Centre \(I(a;b)\) \(f(2a-x)=2b-f(x)\)

Périodicité \(f(x+T)=f(x)\)

Asymptote oblique \(a=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x},\quad b=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-ax\big)\)