2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 5

Limite d'une suite numérique

1 · Résumé du cours

1.1 Convergence & limites usuelles

Suite convergente \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\) (fini). Sinon elle diverge.

Limites de référence \[\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=0\ (\alpha>0),\qquad \lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty,\] \[\lim_{n\to+\infty}q^{n}=\begin{cases}0 & \text{si } |q|<1\\ 1 & \text{si } q=1\\ +\infty & \text{si } q>1\\ \text{pas de limite} & \text{si } q\le-1\end{cases}\]

1.2 Théorèmes de comparaison

Encadrement & comparaison

Si \(u_n\le v_n\) (à partir d'un rang) et \(\lim u_n=+\infty\), alors \(\lim v_n=+\infty\).
Gendarmes : si \(a_n\le u_n\le b_n\) et \(\lim a_n=\lim b_n=\ell\), alors \(\lim u_n=\ell\).
Si \(|u_n-\ell|\le v_n\) et \(\lim v_n=0\), alors \(\lim u_n=\ell\).

Convergence monotone Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

1.3 Suite & fonction — suites récurrentes

Composition par une fonction continue Si \(\lim u_n=\ell\) et \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\lim f(u_n)=f(\ell)\).
Point fixe : si \(u_{n+1}=f(u_n)\), \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et \(f\) est continue, alors \(\ell=f(\ell)\).

Pour \(u_{n+1}=f(u_n)\) : on montre souvent que \((u_n)\) est monotone et bornée (donc convergente), puis on résout \(\ell=f(\ell)\).

Construction « en escalier » : partant de \(u_0\), on lit \(u_{n+1}=f(u_n)\) sur la courbe puis on reporte sur la droite \(y=x\). La suite converge vers le point fixe \(\ell=f(\ell)\).

2 · Feuille de route

Limites usuelles

\(\frac{1}{n^\alpha}\), \(q^n\), puissances, racines.

Opérations & F.I.

Mêmes techniques que pour les fonctions.

Comparaison & gendarmes

Encadrer une suite pour trouver sa limite.

Monotonie & bornes

Croissante majorée ⇒ convergente.

Suites récurrentes

\(u_{n+1}=f(u_n)\), point fixe \(\ell=f(\ell)\).

3 · Exercices choisis

Limite · F.I.

Exercice 1

Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^{2}-n+2}{2n^{2}+5}\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\big)\).

Voir la correction

La 1ʳᵉ : terme dominant \(\frac{3n^2}{2n^2}=\frac32\). La 2ᵉ : \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\to0\).

Gendarmes

Exercice 2

Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}\).

Voir la correction

\(-\dfrac1n\le\dfrac{\sin n}{n}\le\dfrac1n\) et \(\pm\dfrac1n\to0\), donc par les gendarmes la limite est \(0\).

Suite géométrique

Exercice 3

Soit \(u_n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\). Étudier la convergence et calculer \(\displaystyle\lim u_n\).

Voir la correction

\(q=\frac23\), \(|q|<1\) donc \(u_n\to0\).

Suite récurrente

Exercice 4

Soit \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\). On admet que \((u_n)\) converge. Déterminer sa limite.

Voir la correction

\(f(x)=\sqrt{x+2}\) est continue ; la limite \(\ell\) vérifie \(\ell=\sqrt{\ell+2}\Rightarrow \ell^{2}=\ell+2\Rightarrow \ell^{2}-\ell-2=0\Rightarrow \ell=2\) (la solution \(-1\) est exclue car \(u_n>0\)).

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Les techniques de limites des fonctions (terme dominant, conjugué) s'appliquent aux suites.

Astuce Face à \(\sin n\), \(\cos n\) ou \((-1)^n\) : pense aux gendarmes (termes bornés).

Piège Point fixe : \(\ell=f(\ell)\) ne donne la limite que si l'on sait déjà que \((u_n)\) converge. Il faut le justifier (monotonie + bornes).

Piège \(q^{n}\) n'a pas de limite si \(q\le-1\) (ex. \((-2)^n\) oscille) : ne pas écrire \(\pm\infty\).

Formulaire à retenir

Limite de \(q^{n}\) \(0\) si \(|q|<1\) ; \(+\infty\) si \(q>1\) ; \(1\) si \(q=1\)

Puissances \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^{\alpha}}=0\ (\alpha>0)\)

Gendarmes \(a_n\le u_n\le b_n\) et \(\lim a_n=\lim b_n=\ell \Rightarrow \lim u_n=\ell\)

Monotone bornée croissante majorée (ou décroissante minorée) \(\Rightarrow\) converge

Point fixe si \(u_{n+1}=f(u_n)\to\ell\) et \(f\) continue, alors \(\ell=f(\ell)\)