Tronc Commun · Sciences · Chapitre 1

Les ensembles de nombres

Tout premier chapitre du Tronc Commun, il met de l'ordre dans le monde des nombres. On y range les nombres dans des ensembles emboîtés — les entiers naturels ℕ, les entiers relatifs ℤ, les décimaux 𝔻, les rationnels ℚ, et enfin les réels ℝ — et on apprend à reconnaître, pour un nombre donné, le plus petit ensemble auquel il appartient. Vous découvrirez le critère qui dit quand une fraction est décimale (son dénominateur ne doit contenir que des 2 et des 5), pourquoi √2 est irrationnel (une démonstration par l'absurde à connaître), et vous réviserez toute la mécanique de calcul de la classe : fractions, puissances (aₘaₙ = aₘ₊ₙ), écriture scientifique, racines carrées avec √(x²) = |x|, développement, factorisation et les identités remarquables jusqu'au cube. C'est la boîte à outils de calcul sur laquelle reposera toute l'année.

1 · Résumé du cours

Les nombres sont classés dans différents ensembles selon leur nature et les opérations que l'on peut effectuer avec eux. Ce chapitre présente les entiers, les décimaux, les rationnels et les réels, puis rassemble les principales règles de calcul utilisées tout au long de l'année.

1.1 Les entiers naturels et les entiers relatifs

Définition — entiers naturels L'ensemble des entiers naturels est \[\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}.\] L'ensemble des entiers naturels non nuls est \(\mathbb{N}^{*}=\mathbb{N}\setminus\{0\}\).

Définition — entiers relatifs L'ensemble des entiers relatifs est \[\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}.\] L'ensemble des entiers relatifs non nuls est \(\mathbb{Z}^{*}=\mathbb{Z}\setminus\{0\}\).

Propriété Tout entier naturel est un entier relatif : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\). La somme et le produit de deux entiers naturels appartiennent toujours à \(\mathbb{N}\). En revanche, une différence ou un quotient de deux entiers naturels n'appartient pas nécessairement à \(\mathbb{N}\).

Exemple. \(8-5=3\in\mathbb{N}\), mais \(5-8=-3\notin\mathbb{N}\). De même, \(12\div3=4\in\mathbb{N}\), tandis que \(2\div5=\dfrac25\notin\mathbb{N}\).

Chiffre ou nombre ? Les chiffres sont uniquement \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\). Un nombre peut être formé d'un ou de plusieurs chiffres : \(27\) est un nombre de deux chiffres.

1.2 Les nombres décimaux

Définition Un réel \(x\) est un nombre décimal s'il peut s'écrire sous la forme \[x=\frac{a}{10^n},\qquad a\in\mathbb{Z},\quad n\in\mathbb{N}.\] L'ensemble des nombres décimaux est noté \(\mathbb{D}\).

Exemple. \(-15{,}237=\dfrac{-15237}{10^3}\in\mathbb{D}\) et \(\dfrac34=\dfrac{75}{10^2}=0{,}75\in\mathbb{D}\). Tout entier relatif est aussi décimal puisque \(a=\dfrac{a}{10^0}\).

Propriété — reconnaître une fraction décimale Soit \(\dfrac ab\) une fraction irréductible avec \(b>0\). Le nombre \(\dfrac ab\) est décimal si et seulement si la décomposition de \(b\) en facteurs premiers ne contient que les facteurs \(2\) et \(5\) : \[b=2^p5^q,\qquad p,q\in\mathbb{N}.\]

Exemple. \(\dfrac{54}{40}=\dfrac{27}{20}\) et \(20=2^2\times5\), donc \(\dfrac{54}{40}\) est décimal. En revanche, \(\dfrac7{12}\) est irréductible et \(12=2^2\times3\) ; le facteur \(3\) montre que \(\dfrac7{12}\) n'est pas décimal.

1.3 Les nombres rationnels

Définition Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire comme quotient de deux entiers : \[\mathbb{Q}=\left\{\frac ab\ ;\ a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z}^{*}\right\}.\]

Exemple. \(\dfrac13\in\mathbb{Q}\), \(-0{,}375=-\dfrac38\in\mathbb{Q}\), \(7=\dfrac71\in\mathbb{Q}\).

Propriété Tout nombre décimal est rationnel : \(\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\). Un rationnel possède une écriture décimale finie ou périodique à partir d'un certain rang. Réciproquement, toute écriture décimale finie ou périodique représente un nombre rationnel.

Exemple. \(\dfrac13=0{,}333\ldots=0{,}\overline3\) et \(\dfrac7{11}=0{,}636363\ldots=0{,}\overline{63}\). Les chiffres \(3\) et \(63\) constituent les périodes respectives.

1.4 Les nombres réels et les irrationnels

Définition L'ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels est constitué des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Un réel qui n'appartient pas à \(\mathbb{Q}\) est dit irrationnel.

Exemple. \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) et \(\pi\) sont irrationnels. Leur écriture décimale est infinie et non périodique.

Théorème Le nombre \(\sqrt2\) est irrationnel.

Méthode — démonstration par l'absurde Supposons que \(\sqrt2=\dfrac pq\), où \(p,q\in\mathbb{N}^{*}\) et la fraction \(\dfrac pq\) est irréductible. Alors \(p^2=2q^2\), donc \(p^2\) est pair et \(p\) est pair. Il existe ainsi \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(p=2k\). En remplaçant, \[4k^2=2q^2\;\Longrightarrow\;q^2=2k^2.\] Ainsi \(q\) est également pair. Les entiers \(p\) et \(q\) ont donc \(2\) comme diviseur commun, ce qui contredit l'irréductibilité de \(\dfrac pq\). L'hypothèse est fausse : \(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\).

Propriété — inclusions successives \[\boxed{\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.}\] Le symbole \(E^{*}\) désigne généralement l'ensemble \(E\) privé de \(0\).

Méthode — déterminer le plus petit ensemble On commence par tester l'ensemble le plus petit : \(\mathbb{N}\), puis \(\mathbb{Z}\), puis \(\mathbb{D}\), puis \(\mathbb{Q}\). Si le nombre n'appartient à aucun de ces quatre ensembles, mais représente une quantité réelle, il appartient à \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\).

Exemple. \[5\in\mathbb{N},\qquad -4\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N},\qquad 0{,}125\in\mathbb{D}\setminus\mathbb{Z},\] \[\frac23\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{D},\qquad \sqrt2\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.\]

1.5 Opérations dans ℝ

Définition — opposé, inverse L'opposé d'un réel \(a\) est le réel \(-a\) tel que \(a+(-a)=0\). Si \(a\ne0\), son inverse est le réel \(\dfrac1a\) tel que \(a\times\dfrac1a=1\).

Propriété — addition et multiplication Pour tous \(a,b,c\in\mathbb{R}\) : \[a+b=b+a,\qquad (a+b)+c=a+(b+c),\] \[ab=ba,\qquad (ab)c=a(bc),\qquad a(b+c)=ab+ac.\] De plus, \(a+0=a\), \(a\times1=a\) et \(a-b=a+(-b)\).

Propriété — fractions Pour \(a,c\in\mathbb{R}\) et \(b,d\in\mathbb{R}^{*}\) : \[\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},\qquad \frac ab-\frac cd=\frac{ad-bc}{bd},\] \[\frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd},\qquad \frac{a/b}{c/d}=\frac ab\times\frac dc=\frac{ad}{bc}\quad(c\ne0).\] Enfin, \(\dfrac ab=\dfrac cd\iff ad=bc\).

Conditions d'existence Avant tout calcul fractionnaire, on indique que les dénominateurs sont non nuls. Une division par \(0\) n'existe pas dans \(\mathbb{R}\).

1.6 Puissances

Définition Soient \(a\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{N}^{*}\). On appelle puissance \(n\)-ième de \(a\) le produit \[a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ facteurs}}.\] Pour \(a\ne0\), on pose \(a^0=1\) et \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\).

Propriété — règles des puissances Pour \(a,b\in\mathbb{R}^{*}\) et \(m,n\in\mathbb{Z}\) : \[a^m a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\] \[(ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.\]

Propriété — signe d'une puissance Si \(a<0\), alors \(a^n\) est positif lorsque \(n\) est pair et négatif lorsque \(n\) est impair. En particulier, \((-1)^{2n}=1\) et \((-1)^{2n+1}=-1\).

Attention aux sommes En général, \((a+b)^n\ne a^n+b^n\). Les règles des puissances concernent les produits et les quotients, pas les sommes.

1.7 Puissances de dix et écriture scientifique

Propriété Pour \(n\in\mathbb{N}\) : \[10^n=\underbrace{100\ldots0}_{n\text{ zéros}},\qquad 10^{-n}=\frac1{10^n}.\] Par exemple, \(10^4=10000\) et \(10^{-3}=0{,}001\).

Définition — écriture scientifique Tout nombre décimal non nul \(x\) s'écrit de façon unique sous la forme \[x=a\times10^n,\qquad 1\le |a|<10,\quad n\in\mathbb{Z}.\] Cette expression est l'écriture scientifique de \(x\). La puissance \(10^n\) fournit son ordre de grandeur.

Exemple. \(2\,328\,423=2{,}328423\times10^6\) et \(-0{,}00032=-3{,}2\times10^{-4}\).

Méthode — calcul en écriture scientifique Pour additionner des nombres écrits avec des puissances de dix, on commence par les écrire avec la même puissance. Pour les multiplier, on multiplie les coefficients et on additionne les exposants, puis on normalise le résultat.

1.8 Racines carrées

Définition Soit \(a\ge0\). La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt a\), est l'unique réel positif ou nul dont le carré vaut \(a\) : \((\sqrt a)^2=a\). Dans \(\mathbb{R}\), l'expression \(\sqrt a\) n'est définie que lorsque \(a\ge0\).

Propriété Pour \(a\ge0\) et \(b>0\) : \[\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b,\qquad \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.\] Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[\boxed{\sqrt{x^2}=|x|.}\]

Théorème — équation \(x^2=a\) Pour \(a\in\mathbb{R}\) :

si \(a<0\), l'équation \(x^2=a\) n'a aucune solution réelle ;
si \(a=0\), elle possède l'unique solution \(x=0\) ;
si \(a>0\), elle possède exactement deux solutions : \(x=\sqrt a\) et \(x=-\sqrt a\).

Deux erreurs à éviter \[\sqrt{x^2}=|x|\ \text{(et non toujours }x\text{)},\qquad \sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\ \text{en général}.\] La racine carrée se distribue sur un produit ou un quotient de nombres positifs, jamais sur une somme.

Méthode — rationaliser un dénominateur On multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée : \[\frac1{\sqrt a-\sqrt b}=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}\quad(a,b\ge0,\ a\ne b).\]

1.9 Développement, factorisation et identités remarquables

Définition Développer un produit consiste à l'écrire sous forme d'une somme. Factoriser une somme consiste à l'écrire sous forme d'un produit.

Propriété — identités du second degré Pour tous \(a,b\in\mathbb{R}\) : \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\] \[a^2-b^2=(a-b)(a+b).\]

Propriété — identités du troisième degré Pour tous \(a,b\in\mathbb{R}\) : \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3,\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).\]

Méthode — choisir une factorisation

on cherche d'abord un facteur commun ;
s'il n'y en a pas, on cherche une identité remarquable ;
on vérifie le résultat en le développant mentalement.

Exemple. \(9x^2-30x+25=(3x)^2-2\times3x\times5+5^2=(3x-5)^2\) et \(27x^3+1=(3x)^3+1^3=(3x+1)(9x^2-3x+1)\).

L'essentiel du chapitre

\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
Une fraction irréductible est décimale lorsque son dénominateur est de la forme \(2^p5^q\).
Un rationnel possède une écriture décimale finie ou périodique ; un irrationnel possède une écriture infinie non périodique.
Dans une fraction, tous les dénominateurs doivent être non nuls.
\(a^m a^n=a^{m+n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\) et \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\) pour \(a\ne0\).
\(\sqrt{x^2}=|x|\) et \(x^2=a\) donne \(x=\pm\sqrt a\) lorsque \(a>0\).
Pour factoriser : facteur commun d'abord, identité remarquable ensuite.

2 · Exercices résolus

Ensembles de nombres

Exercice 1

Déterminer le plus petit ensemble parmi \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\) auquel appartient chacun des nombres suivants : \[12,\qquad -7,\qquad \frac{15}{8},\qquad \frac7{12},\qquad \sqrt5.\]

Voir la correction

\(12\in\mathbb{N}\). Le nombre \(-7\) est un entier relatif non naturel, donc \(-7\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}\).

La fraction \(\dfrac{15}{8}\) est irréductible et \(8=2^3\), donc elle est décimale : \(\dfrac{15}{8}=1{,}875\in\mathbb{D}\setminus\mathbb{Z}\).

La fraction \(\dfrac7{12}\) est irréductible et \(12=2^2\times3\) : elle n'est pas décimale, mais elle est rationnelle. Ainsi \(\dfrac7{12}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{D}\).

Enfin, \(\sqrt5\) est irrationnel, donc \(\sqrt5\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\). \(\blacksquare\)

Racines carrées

Exercice 2

Simplifier \(A=\sqrt{50}-3\sqrt8+\sqrt{18}\), puis rationaliser le dénominateur de \(B=\dfrac3{\sqrt5-\sqrt2}\).

Voir la correction

On extrait les carrés parfaits : \(\sqrt{50}=5\sqrt2\), \(\sqrt8=2\sqrt2\), \(\sqrt{18}=3\sqrt2\). Donc \[A=(5-6+3)\sqrt2=2\sqrt2.\]

Pour \(B\), on utilise la quantité conjuguée : \[B=\frac{3(\sqrt5+\sqrt2)}{(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)}=\frac{3(\sqrt5+\sqrt2)}{5-2}=\sqrt5+\sqrt2.\] \(\blacksquare\)

Factorisation

Exercice 3

Factoriser les expressions \[C=49x^2-81,\qquad D=(x+1)(2x-3)+6(x+1),\qquad E=8x^3-27.\]

Voir la correction

On reconnaît d'abord une différence de deux carrés : \(C=(7x)^2-9^2=(7x-9)(7x+9)\).

Dans \(D\), le facteur commun est \(x+1\) : \(D=(x+1)\bigl((2x-3)+6\bigr)=(x+1)(2x+3)\).

Enfin, \(E=(2x)^3-3^3\) est une différence de deux cubes : \(E=(2x-3)(4x^2+6x+9)\). \(\blacksquare\)

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