2021 — Session normale

I.1. a) Limite en $+\infty$

$$f_{n}(x)-nx+2=\frac{-2e^{x}}{1+e^{x}}+2=\frac{-2e^{x}+2(1+e^{x})}{1+e^{x}}=\frac{2}{1+e^{x}}.$$

Puisque $e^{x}\to+\infty$ : $\;\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(f_{n}(x)-nx+2\bigr)=0}$.

Interprétation : la droite $y=nx-2$ est asymptote à $(C_{n})$ en $+\infty$. De plus $f_{n}(x)-(nx-2)=\frac{2}{1+e^{x}}>0$, donc $(C_{n})$ est au-dessus de cette asymptote. ∎

I.1. b) Asymptote en $-\infty$

On écrit $f_{n}(x)=-2+\dfrac{2}{1+e^{x}}+nx$, d'où :

$$f_{n}(x)-nx=\frac{-2e^{x}}{1+e^{x}}\xrightarrow[x\to-\infty]{}0\quad\text{(car }e^{x}\to 0\text{).}$$

La droite $\boxed{\Delta_{n}:\;y=nx}$ est asymptote à $(C_{n})$ en $-\infty$.

De plus $f_{n}(x)-nx=\frac{-2e^{x}}{1+e^{x}}<0$, donc $(C_{n})$ est au-dessous de $\Delta_{n}$. ∎

I.2. a) Dérivée

La fonction $x\mapsto\frac{e^{x}}{1+e^{x}}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée $\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}$. Donc :

$$\boxed{f_{n}'(x)=\frac{-2e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}+n.}\quad∎$$

I.2. b) Inégalité $\frac{4e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\le 1$

Posons $u=e^{x}>0$. L'inégalité devient $4u\le(1+u)^{2}$, soit $(u-1)^{2}\ge 0$. Toujours vrai, avec égalité ssi $u=1$, i.e. $x=0$. ∎

I.2. c) Variations

De l'inégalité précédente : $\;\dfrac{2e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\le\dfrac{1}{2}$.

Cas $n=0$ : $f_{0}'(x)=\frac{-2e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}<0$. $f_{0}$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Cas $n\ge 1$ : $f_{n}'(x)=n-\frac{2e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\ge 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0$. $f_{n}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. ∎

I.3. a) Tangente au point d'inflexion

$f_{n}(0)=\frac{-2}{1+1}+0=-1$. $f_{n}'(0)=\frac{-2}{4}+n=n-\frac{1}{2}$. Donc $I=(0,-1)$ et :

$$\boxed{T_{I}:\;y=\left(n-\frac{1}{2}\right)x-1.}\quad∎$$

I.3. b) Unicité du point d'inflexion

Calculons $f_{n}''(x)$. On dérive $h(x)=\frac{-2e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}$ :

$$f_{n}''(x)=h'(x)=\frac{-2e^{x}\bigl[(1+e^{x})^{2}-2e^{x}(1+e^{x})\bigr]}{(1+e^{x})^{4}}=\frac{-2e^{x}(1-e^{x})}{(1+e^{x})^{3}}=\frac{2e^{x}(e^{x}-1)}{(1+e^{x})^{3}}.$$

$f_{n}''(x)=0\iff e^{x}=1\iff x=0$. De plus $f_{n}''<0$ pour $x<0$ et $f_{n}''>0$ pour $x>0$.

Donc $I(0,-1)$ est l'unique point d'inflexion de $(C_{n})$. ∎

I.5. a) Aire $\mathcal{A}(t)$

$$f_{n}(x)-(nx-2)=\frac{-2e^{x}}{1+e^{x}}+2=\frac{2}{1+e^{x}}>0.$$

La courbe $(C_{n})$ est au-dessus de la droite $y=nx-2$, donc :

$$\mathcal{A}(t)=\int_{0}^{t}\frac{2}{1+e^{x}}\,dx=\int_{0}^{t}\left(2-\frac{2e^{x}}{1+e^{x}}\right)dx=\bigl[2x-2\ln(1+e^{x})\bigr]_{0}^{t}.$$

$$=2t-2\ln(1+e^{t})-\bigl(0-2\ln 2\bigr)=2t-2\ln(1+e^{t})+2\ln 2.$$

En factorisant $1+e^{t}=e^{t}(1+e^{-t})$ :

$$\boxed{\mathcal{A}(t)=2\ln 2-2\ln(1+e^{-t}).}\quad∎$$

I.5. b) Limite

Quand $t\to+\infty$ : $e^{-t}\to 0$, donc $\ln(1+e^{-t})\to\ln 1=0$. Ainsi :

$$\boxed{\lim_{t\to+\infty}\mathcal{A}(t)=2\ln 2.}\quad∎$$

II.1. a) Point fixe de $f_{0}$

Posons $\varphi(x)=f_{0}(x)-x=\frac{-2e^{x}}{1+e^{x}}-x$.

$\varphi'(x)=f_{0}'(x)-1=\frac{-2e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}-1<0$. Donc $\varphi$ est strictement décroissante.

$\varphi$ est continue, $\displaystyle\lim_{-\infty}\varphi=0-(- \infty)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{+\infty}\varphi=-2-(+\infty)=-\infty$.

Par le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\varphi(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in\mathbb{R}$. ∎

II.1. b) $|f_{0}'(x)|\le\frac{1}{2}$

$f_{0}'(x)=\frac{-2e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\le 0$, donc $|f_{0}'(x)|=\frac{2e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\le\frac{1}{2}\;$ (d'après I.2.b). ∎

II.2. a) Contraction

Par le théorème des accroissements finis, il existe $c$ entre $u_{n}$ et $\alpha$ tel que :

$$|u_{n+1}-\alpha|=|f_{0}(u_{n})-f_{0}(\alpha)|=|f_{0}'(c)|\,|u_{n}-\alpha|\le\frac{1}{2}\,|u_{n}-\alpha|.\quad∎$$

II.2. b) Majoration par récurrence

Initialisation : $|u_{0}-\alpha|=|\alpha|=(1/2)^{0}|\alpha|$. ✓

Hérédité : $|u_{n+1}-\alpha|\le\frac{1}{2}\,|u_{n}-\alpha|\le\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}|\alpha|=\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}|\alpha|$. ∎

II.2. c) Convergence

$0\le|u_{n}-\alpha|\le\left(\frac{1}{2}\right)^{n}|\alpha|\to 0$. Par le théorème des gendarmes : $\;\boxed{u_{n}\to\alpha}$. ∎

III.1. a) Existence et unicité de $x_{n}$

Pour $n\ge 2$, $f_{n}$ est strictement croissante et continue sur $\mathbb{R}$ avec $\lim_{-\infty}f_{n}=-\infty$ et $\lim_{+\infty}f_{n}=+\infty$. Par le théorème de la bijection, l'équation $f_{n}(x)=0$ admet une unique solution $x_{n}$. ∎

III.1. b) $0<x_{n}<1$

$f_{n}(0)=-1<0$ et $f_{n}(1)=\dfrac{-2e}{1+e}+n\ge\dfrac{-2e}{1+e}+2>0\;$ (car $\frac{2e}{1+e}<1{,}47<2$).

Puisque $f_{n}$ est strictement croissante avec $f_{n}(0)<0<f_{n}(1)$ : $\;\boxed{0<x_{n}<1}$. ∎

III.2. a) $f_{n+1}(x_{n})>0$

$$f_{n+1}(x_{n})=\frac{-2e^{x_{n}}}{1+e^{x_{n}}}+(n+1)x_{n}=f_{n}(x_{n})+x_{n}=0+x_{n}=x_{n}>0.\quad∎$$

III.2. b) $(x_{n})$ décroissante

$f_{n+1}(x_{n})>0=f_{n+1}(x_{n+1})$. Puisque $f_{n+1}$ est strictement croissante : $x_{n}>x_{n+1}$.

La suite $(x_{n})_{n\ge 2}$ est strictement décroissante. ∎

III.2. c) Convergence

$(x_{n})$ est décroissante et minorée par $0$. Par le théorème de la convergence monotone, $(x_{n})$ converge. ∎

III.3. a) Encadrement de $x_{n}$

De $f_{n}(x_{n})=0$ : $\;nx_{n}=\dfrac{2e^{x_{n}}}{1+e^{x_{n}}}$. La fonction $g(x)=\dfrac{2e^{x}}{1+e^{x}}$ est croissante.

Puisque $0<x_{n}<1$ : $\;g(0)<g(x_{n})<g(1)$, soit $1<nx_{n}<\dfrac{2e}{1+e}$.

En divisant par $n>0$ : $\;\boxed{\frac{1}{n}<x_{n}<\frac{1}{n}\cdot\frac{2e}{1+e}}$. ∎

III.3. b) Limites

Par le théorème des gendarmes : $\;\frac{1}{n}\to 0\;$ et $\;\frac{1}{n}\cdot\frac{2e}{1+e}\to 0$, donc $\;\boxed{x_{n}\to 0}$.

De $nx_{n}=\frac{2e^{x_{n}}}{1+e^{x_{n}}}$ et $x_{n}\to 0$ : $\;\frac{2e^{x_{n}}}{1+e^{x_{n}}}\to\frac{2}{2}=1$. Donc $\;\boxed{\lim_{n\to+\infty}nx_{n}=1}$. ∎

III.4. a) $x_{n}\le x_{2}$

$(x_{n})$ est décroissante pour $n\ge 2$, donc $x_{n}\le x_{2}$ pour tout $n\ge 2$. ∎

III.4. b) Limite de $(x_{n})^{n}$

Pour $n\ge 2$ : $\;0<x_{n}\le x_{2}<1$, donc $0<(x_{n})^{n}\le(x_{2})^{n}$.

Puisque $0<x_{2}<1$ : $(x_{2})^{n}\to 0$. Par le théorème des gendarmes :

$$\boxed{\lim_{n\to+\infty}(x_{n})^{n}=0.}\quad∎$$

1. a) Résolution de $(E)$

$$\Delta=(a+b+c)^{2}-4c(a+b)=(a+b)^{2}-2c(a+b)+c^{2}=(a+b-c)^{2}.$$

$$z=\frac{(a+b+c)\pm(a+b-c)}{2}.$$

$\boxed{z_{1}=a+b}\;$ et $\;\boxed{z_{2}=c}$. ∎

1. b) Forme exponentielle

Avec $a=i=e^{i\pi/2}$ et $b=e^{i\pi/3}$ :

$z_{1}=e^{i\pi/2}+e^{i\pi/3}=2\cos\!\left(\frac{\pi/2-\pi/3}{2}\right)e^{i(\pi/2+\pi/3)/2}=2\cos\frac{\pi}{12}\;e^{i\frac{5\pi}{12}}$.

Or $\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, donc $\;\boxed{z_{1}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\;e^{i\frac{5\pi}{12}}}$.

$z_{2}=c=a-b=e^{i\pi/2}-e^{i\pi/3}=2i\sin\frac{\pi}{12}\;e^{i\frac{5\pi}{12}}=2\sin\frac{\pi}{12}\;e^{i(\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{2})}=2\sin\frac{\pi}{12}\;e^{i\frac{11\pi}{12}}$.

Or $\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, donc $\;\boxed{z_{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\;e^{i\frac{11\pi}{12}}}$. ∎

2. a) Affixes de $P$ et $Q$

Rotation de centre $P$, angle $\frac{\pi}{2}$, $B\to A$ :

$a-p=i(b-p)$, soit $a-ib=p(1-i)$, d'où $p=\frac{a-ib}{1-i}=\frac{(a-ib)(1+i)}{2}=\frac{a+b+(a-b)i}{2}$.

$$\boxed{2p=a+b+(a-b)i.}$$

Rotation de centre $Q$, angle $-\frac{\pi}{2}$, $C\to A$ :

$a-q=-i(c-q)$, soit $a+ic=q(1+i)$, d'où $q=\frac{a+ic}{1+i}=\frac{(a+ic)(1-i)}{2}=\frac{a+c+(c-a)i}{2}$.

$$\boxed{2q=a+c+(c-a)i.}\quad∎$$

2. b) Rapport $\frac{p-d}{q-d}$

Avec $d=\frac{b+c}{2}$ :

$$2(p-d)=(a-c)+(a-b)i,\qquad 2(q-d)=(a-b)+(c-a)i.$$

Posons $\alpha=a-c$ et $\beta=a-b$. Alors :

$$\frac{p-d}{q-d}=\frac{\alpha+\beta i}{\beta-\alpha i}=\frac{(\alpha+\beta i)(\beta+\alpha i)}{(\beta-\alpha i)(\beta+\alpha i)}=\frac{\alpha\beta-\alpha\beta+i(\alpha^{2}+\beta^{2})}{\alpha^{2}+\beta^{2}}=\boxed{i.}$$

(Le dénominateur $\alpha^{2}+\beta^{2}\ne 0$ car $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.) ∎

2. c) Nature du triangle $PDQ$

$\dfrac{p-d}{q-d}=i=e^{i\pi/2}\;\Longrightarrow\;|DP|=|DQ|\;$ et $\;\widehat{(\overrightarrow{DQ},\overrightarrow{DP})}=\dfrac{\pi}{2}$.

Le triangle $PDQ$ est rectangle isocèle en $D$. ∎

3. a) Affixe de $K$

$E$ symétrique de $B$ par rapport à $P$ : $e=2p-b=a+(a-b)i$.

$F$ symétrique de $C$ par rapport à $Q$ : $f=2q-c=a+(c-a)i$.

$$k=\frac{e+f}{2}=\frac{2a+(a-b+c-a)i}{2}=\boxed{a+\frac{i}{2}(c-b).}\quad∎$$

3. b) Cocyclicité de $K$, $P$, $Q$, $D$

Calculons :

$$2(k-p)=(a-b)+i(c-a)=2(q-d),\qquad 2(k-q)=(a-c)+i(a-b)=2(p-d).$$

Donc $k-p=q-d$ et $k-q=p-d$. En formant le rapport :

$$\frac{k-p}{k-q}=\frac{q-d}{p-d}=\frac{1}{i}=-i=e^{-i\pi/2}.$$

Ainsi $\arg\!\left(\frac{k-p}{k-q}\right)=-\frac{\pi}{2}$, ce qui signifie $\widehat{(\overrightarrow{KQ},\overrightarrow{KP})}=\frac{\pi}{2}$.

Le triangle $PDQ$ est inscrit dans le cercle de diamètre $[PQ]$ (car $\angle PDQ=\frac{\pi}{2}$). De même $\angle PKQ=\frac{\pi}{2}$, donc $K$ est aussi sur ce cercle.

$$\boxed{K,\;P,\;Q,\;D\text{ sont cocycliques (sur le cercle de diamètre }[PQ]\text{).}}\quad∎$$

I.1. Vérification

$47\times 11-43\times 12=517-516=1$. ✓ ∎

I.2. Résolution de $(E)$

En soustrayant $47\times 11-43\times 12=1$ de $47x-43y=1$ :

$$47(x-11)=43(y-12).$$

$\text{pgcd}(47,43)=1$, donc $43\mid(x-11)$. Il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $x-11=43k$, puis $y-12=47k$.

$$\boxed{(x,y)=(43k+11,\;47k+12),\quad k\in\mathbb{Z}.}\quad∎$$

II.1. a) $\text{pgcd}(x,43)=1$ et Fermat

Si $43\mid x$, alors $x^{41}\equiv 0\not\equiv 4\;[43]$. Contradiction. Donc $\text{pgcd}(x,43)=1$.

Par le petit théorème de Fermat ($43$ premier) : $\;\boxed{x^{42}\equiv 1\;[43]}$. ∎

II.1. b) $x\equiv 11\;[43]$

$x^{42}=x^{41}\cdot x\equiv 4x\;[43]$. Or $x^{42}\equiv 1\;[43]$, donc $\;4x\equiv 1\;[43]$.

De la partie I : $47\times 11\equiv 1\;[43]$, soit $4\times 11\equiv 1\;[43]\;$ (car $47\equiv 4\;[43]$).

Par unicité de l'inverse modulaire : $\;\boxed{x\equiv 11\;[43]}$. ∎

II.2. Ensemble des solutions de $(F)$

$(\Rightarrow)$ Toute solution vérifie $x\equiv 11\;[43]$ (partie II.1).

$(\Leftarrow)$ Si $x\equiv 11\;[43]$ : $\text{pgcd}(x,43)=1$, donc $x^{42}\equiv 1\;[43]$ par Fermat, d'où $x^{41}\equiv x^{-1}\;[43]$. Or $x\equiv 11\;[43]$ et $11^{-1}\equiv 4\;[43]$. Donc $x^{41}\equiv 4\;[43]$. ✓

$$\boxed{S_{F}=\{43k+11\mid k\in\mathbb{Z}\}.}\quad∎$$

III.1. a) Réduction au système $(S')$

Première congruence : $x^{41}\equiv 4\;[43]\;\Longrightarrow\;x\equiv 11\;[43]\;$ (partie II).

Seconde congruence : si $47\mid x$, alors $x^{47}\equiv 0\not\equiv 10\;[47]$. Donc $\text{pgcd}(x,47)=1$, et par Fermat : $x^{46}\equiv 1\;[47]$, d'où $x^{47}\equiv x\;[47]$. Ainsi $x\equiv 10\;[47]$. ∎

III.1. b) $x\equiv 527\;[2021]$

De $x\equiv 11\;[43]$ : $x=43k+11$. Substituons dans $x\equiv 10\;[47]$ :

$$43k+11\equiv 10\;[47],\quad\text{soit}\quad 43k\equiv -1\;[47].$$

De la partie I : $47\times 11-43\times 12=1$, soit $43\times 12\equiv -1\;[47]$. Donc $k\equiv 12\;[47]$.

$$x=43\times 12+11=527.$$

Puisque $43\times 47=2021$ et $\text{pgcd}(43,47)=1$ : $\;\boxed{x\equiv 527\;[2021]}$.

Vérification : $527=43\times 12+11\equiv 11\;[43]\;$ ✓ $\;$ et $\;527=47\times 11+10\equiv 10\;[47]\;$ ✓. ∎

III.2. Ensemble des solutions de $(S)$

$(\Rightarrow)$ Toute solution de $(S)$ vérifie $x\equiv 527\;[2021]\;$ (partie III.1).

$(\Leftarrow)$ Si $x\equiv 527\;[2021]$ : $x\equiv 11\;[43]$, donc $x^{41}\equiv 4\;[43]\;$ (partie II). Et $x\equiv 10\;[47]$, donc $x^{47}\equiv x\equiv 10\;[47]\;$ (par Fermat). ✓

$$\boxed{S=\{2021k+527\mid k\in\mathbb{Z}\}.}\quad∎$$